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Hallo liebe Leute ich habe Probleme in einem Aufgabenteil, den unser Lehrer uns mitgegeben hat um uns auf die mündliche Abiturprüfung vorzubereiten, welche jetzt am kommenden Freitag ist.

Zur Aufgabe:

Gegeben seien die Punkte A(1/6/0) B(4/7/2) C(2/7/1) D(2/0/2)

a) Es sei E die Ebene durch ABC. Stellen sie [PF] [KF] auf uns zeigen sie, dass D    nicht in E liegt.

b) Zeigen sie dass die Gerade g durch D mit dem Richtungsvektor |24/-2/11| parallel zu E ist.
                                                              
c) Die ebene F ist orthogonal zu E und enthält die Gerade g. E schneidet F in einer Geraden h. Geben sie die Gleichung für die Gerade an.

d) Die Gerade k durch die Punkte A und B durchstößt die zu ihr orthogonale Ebene durch C in einem Punkt F. Bestimmen sie diesen Punkt und berechnen sie die Länge von CF.
Berechnen sie dann den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

e) Der Abstand von D zu e beträgt 9/wurzel6. Berechnen sie mit Hilfe der Ergebnisse in d) das Volumen der Dreieckspyramide mit den Ecken A,B,C und D

In Aufgabe a)bin ich zu dem Ergebnis gekommen 2=7 was bedeutet, dass D kein Element von E ist. Meine Koordinatenform lautet -x-y+2z = -7

In Aufgaben b) habe ich die Gerade mit der Ebene gleichgesetzt und bin zu dem Ergebis 0=-9 gekommen, was die Parallelität der Gerade und der Ebene bestätigt.

In Aufgabe c) habe ich die Ebene F (hergelietet aus der Geraden g und dem Normalenvektor von E als zweiter Spannvektor) in die Ebene E eingesetzt um die Schnittgrade zu ermitteln. Ergebnis: VektorX=(3,5/1,5/-1) + r (24/-2/11).

So jetzt zu meinem eigentlichen Problem:
Ab Aufgabenteil d) weiß ich mir gar nicht mehr weiterzuhelfen. Ich bitte um eine Hilfestellung/Erklärung, da ich mir einen mehrtägigen Schriftwechsel, so gern ich auch wollte, leider nicht mehr zeitlich erlauben kann.

Ich danke im Voraus und hoffe auf schnellstmögliche Hilfe
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Die Fläche auf der Ebene, die die Vektoren AB und AC aufspannen hast du ja. Nun musst nur doch wissen, wie weit der Punkt D von der Ebene entfernt ist, was du auch schon weißt.

Volumen Pyramide = 1/3 * Grundfläche * Höhe

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d) Die Gerade k durch die Punkte A und B durchstößt die zu ihr orthogonale Ebene durch C in einem Punkt F. Bestimmen sie diesen Punkt und berechnen sie die Länge von CF. Berechnen sie dann den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

gAB: X = A + r·AB = [1, 6, 0] + r·[3, 1, 2] = [3·r + 1, r + 6, 2·r]

EC: X·[3, 1, 2] = [2, 7, 1]·[3, 1, 2]
EC: 3·x + y + 2·z = 15

Wir setzen die Gerade in die Ebene ein

3·(3·r + 1) + (r + 6) + 2·(2·r) = 15
r = 3/7

F = [3·r + 1, r + 6, 2·r] = [3·(3/7) + 1, (3/7) + 6, 2·(3/7)] = [16/7, 45/7, 6/7]

|CF| = |[16/7, 45/7, 6/7] - [2, 7, 1]| = √(3/7)

|AB| = |[4,7,2] - [1, 6, 0]| = √14

Fläche ABC = 1/2·|AB|·|CF| = 1/2·(√14)·(√(3/7)) = √(3/2)

Alternative Berechnung über das Kreuzprodukt

Fläche ABC: 1/2·|AB ⨯ AC| = 1/2·|[3, 1, 2] ⨯ [1, 1, 1]| = √(3/2)

e) Der Abstand von D zu E beträgt √(27/2). Berechnen sie mit Hilfe der Ergebnisse in d) das Volumen der Dreieckspyramide mit den Ecken A, B, C und D.

V = 1/3·G·h = 1/3·(√(3/2))·(√(27/2)) = 1.5

Alternative Berechnung über das Spatprodukt

V = 1/6·|(AB ⨯ AC)·AD| = 1/6·|([3, 1, 2] ⨯ [1, 1, 1])·[1, -6, 2]| = 1.5

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