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Was genau ist ein Grenzwert? f(x)=(sin x)/x, f(x)=3·2x und f(x)=3x·cos x

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Hallo,

wir haben im Unterricht innerhalb weniger Stunden das Thema "Verhalten von Funktionen im Unendlichen" durchgepaukt. Ich war - dummerweise - auch noch die Hälfte der Zeit abwesend. Die Folge: Von diesem Kapitel habe ich keine Ahnung...

Hier meine konkreten Fragen:

1. Wie wird ein Grenzwert (ohne Fachausdruck, nur pimitiv bitte :D) definiert?

2. Was ist eine Asymptote?

3. Kann mir jemand die Grenzwertregeln erklären?

4. Als Beispiele:

Ergänzen Sie zunächst bei jedem der 10 Funktionsterme f(x) die maximale Definitionsmenge und untersuchen Sie dann das Verhalten von f für x↦±∞.

a) f(x)=2+3/x

b) f(x)=(5-4x)/(2x+6)

c) f(x)=3·2x

d) f(x)=(sin x)/x

e) f(x)=3x·cos x

f) f(x)=(x2+4)/(x2+1)

g) f(x)=(x+4)/(x2+1)

h) f(x)=(x2+4)/(x+1)

i) f(x)=2-x(cos x)2

j) f(x)=21/(x·x)

Danke & LG Jojo

PS: Ist ne groooße Frage, also wäre es schon hilfreich, nur einen Teil zu beantworten! Thx

Gefragt 26 Jan 2013 von JojoHilft

Zu j) f(x)=21/x·x 

Diese Funktion hat (so wie sie dasteht) lediglich eine Definitionslücke in x = 0.

Sie ist aber wegen 1/x . x = 1 in ganz IR \ {0} konstant 2^1 = 2

Also gilt auch lim(n--->±unendlich) f(x) = 2.

oh sorry, das war natürlich ^1/x2, ich konnte das nur im exponenten nicht nochmal hochstellen... klammern vergessen :/

Ich hab jetzt mal die vergessenen Klammern ergänzt. Nehme an, dass du inzwischen die Aufgabe fertig gelöst hast.
Dankeschön! :)

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

1.) Ich behandle mal nur Grenzwerte von Funktionen, das beschreibt das Prinzip schon ganz gut.

Eine Funktion ordnet ja jeder Stelle x einen Wert f(x) zu. Nun kann es aber sein, dass der Verlauf der Funktion an manchen stellen unklar ist, weil sie zum Beispiel einen Sprung macht oder gar nicht definiert ist.

Dann "schiebt" man x quasi immer näher an die problematische Stelle x0 heran und betrachtet das Verhalten von f(x). Ein Beispiel ist

f(x) = sin(x)/x

für x=0 ist die Funktion nicht definiert, da dann durch 0 geteilt werden müsste. Setzt man aber immer kleiner werdenden Zahlen (z.B. 0.1, 0.01, 0.001, ...) ein, dann sieht man, dass sich f(x) immer näher an 1 annähert. Man sagt:

limx→0 f(x) = 1

Der Grenzwert von f für x gegen 0 ist 1.

Wenn man das Verhalten einer Funktion im Unendlichen betrachten möchte, dann schreibt man formal

limx f(x)

und meint damit, dass für x immer größere Werte eingesetzt werden und das Verhalten von f(x) überprüft wird.

Betrachten wir wieder das Beispiel von oben:

f(x) = sin(x)/x

Weil sin(x) nur Werte zwischen -1 und 1 annimmt, gilt

|f(x)| < 1/x

Setzt man in 1/x beliebig große Werte für x ein, dann wird der Term beliebig klein, man schreibt:

limx 1/x = 0

Und da |f(x)| nach oben durch 1/x beschränkt ist, gilt auch

|f(x)| → 0

also auch

f(x) → 0


Man sagt jetzt: f geht im Grenzwert für x gegen Unendlich gegen Null.

 

2.) Unter einer Asymptoten versteht man eine Gerade, der sich eine Funktion in einem Grenzwertverfahren beliebig genau annähert.
Ein Beispiel:

f(x) = x + 1/x

für große x wird 1/x beliebig klein, sodass sich die Funktion im Grenzwert an die Funktion g(x)=x anschmiegt.

Außerdem besitzt die Funktion eine senkrechte Asymptote (auch Polstelle genannt) bei x = 0, dort wird der Term 1/x beliebig groß.

 

3.) Die Grenzwertregeln: Sei limx→x0 f(x) = y0, limx→x0 g(x) = z0, dann gilt:

limx→x0 (f(x)+g(x)) = y0+z0

limx→x0 (f(x)*g(x)) = y0*z0

Sei ferner limt→t0 h(t) = x0, dann gilt:

limt→t0 f(h(t)) = y0

Und falls z0 ≠ 0, sowie g(x)≠0 in einer Umgebung um x0:

limx→x0 (f(x)/g(x)) = y0/z0

 

Mit anderen Worten: wenn alle Grenzwerte existieren, kann man Addition, Multiplikation, Superposition und Division beliebig mit dem Grenzwertprozess vertauschen.

Das bedeutet z.B.:

limx→0 (cos(x)+2x+3) = limx→0 cos(x) + limx→0 2x + limx→0 3 = 1 + 2*0 + 3 = 4

 

a) Die Funktion ist nicht definiert, wenn durch 0 geteilt wird. Die maximale Definitionsmenge ist also:

D = ℝ\{0}

Die Menge der reellen Zahlen außer der 0.

Für x gegen + oder - Unendlich verschwindet der zweite Term und die Funktion geht gegen 2.

b) Mit dem gleichen Argument wie eben ergibt sich:

D = ℝ\{-3}

Um das Verhalten für x gegen Unendlich zu ermitteln, klammert man oben und unten die größte Potenz von x aus:

(5-4x)/(2x+6) = x*(5/x-4) / (x*(2+6/x))

Jetzt kann man das x kürzen:

= (5/x - 4)/(2+6/x)

Weil jetzt jeder vorkommende Term konvergiert, kann man die Grenzwertsätze anwenden. Dann verschwinden die ~1/x-Terme und übrig bleibt

-4/2 = -2

 

Jetzt geh ich erstmal schlafen, vielleicht schaffst du ein paar der Aufgaben ja jetzt auch allein?

Beantwortet 26 Jan 2013 von Julian Mi Experte X
wow, jetzt wohl eher nicht mehr, lieber morgen - Vielen Dank! Das ist noch mehr als ich gedacht habe *-*
Hallo Julian Mi,

Bin grad am lernen und habe alle Deine Erklärungen verstanden - bis auf die 4b), da bin ich mitgekommen bis zur Anwendung der Grenzsätze. Könntest Du deinen Lösungsweg evtl. noch genauer ausführen?

Das wäre lieb!

~ bedeutet doch ähnlich, oder? Das habe ich noch nie richtig durchgenommen.

 

LG

Jojo

Stimmt für c)

lim f(x) =0

x-->±∞

Ach, ich meine natürlich für x gegen - ∞; weil + überhaupt keinen Sinn macht ;) Von + unendlich ist doch open end, also f(x)--> unendlich, oder? :)
+1 Punkt

 

Hier mal c) d) und e)

c) f(x)=3·2x

2^x geht gegen + unendlich für x gegen + unendlich 

und gegen 0 für x gegen minus unendlich. 

Hier mal blau die Kurve von c), rot die von e) und grün die von f)

blau nähert sich für x-> - unendlich immer nähet y=0 an, während blau für x gegen unendlich gegen unendlich geht.

 

 

d) f(x)=(sin x)/x

rot geht für x gegen ± unendlich gegen 0, da der Zähler betragsmässig nie grösser 1 ist und der Nenner betragsmässig gegen unendlich geht, geht der Bruchterm gegen 0. 

e) f(x)=3x· cos x

Grün konvergiert weder für x gegen unendlich noch gegen minus unendlich.

Da cos x immer wieder die Extremwerte ±1 annimmt und der Faktor 3x gegen ± unendlich geht, wenn x gegen ± unendlich geht, kommen immer wieder beliebig grosse positive und negative Werte vor. Also keine Konvergenz.

 

Beantwortet 31 Jan 2013 von Lu Experte LXXXVI

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