Wie viel Fläche bewässert ein Rasensprenger bei 60 Grad Drehweite?

Question

Aufgabe 1: Ein Rasensprenger kann sich 60° im Kreis drehen und schießt das Wasser 10 m weit. Wie viel Fläche werden bewässert?

Aufgabe 2: Wenn wir den Rasensprenger in die Mitte eines Fußballfelds stellen, wie viel Prozent der Fläche des Fußballfelds werden bewässert.

Aufgabe 3 (schwierig): Wie viele Rasensprenger muss man aufstellen, dass das gesamte Fußballfeld bewässert wird. Und wo müssten sie optimal positioniert werden.

 

Maße Fußballfeld: 105 m x 68 m

Answer 1

Immerhin machst du dir die Arbeit, die Aufgabe abzuschreiben. Dabei lernt man ja schonmal was.

Also ein Kreis hat wie du sicher weißt den Flächeninhalt pi * r^2. Das sind 360 Grad. 360 Grad sind eine Umdrehung. Wenn du also die Formel 1/360 * pi * r^2 verwendest, hast du einen Teil des Kreises. Multiplizierst du die Formel z.B. mit 360, dann kommt wieder pi * r^2 dabei raus, also die gesamte Fläche des Kreises, denn 1/360 * 360 = 1. Wenn du nur 60° der Kreisfläche haben möchtest, multiplizierst du einfach mit 60. 1/360 * 60 * pi * r^2 = 60/360 * pi * r^2. Den Radius hast du ja gegeben und pi sowieso.

Die zweite Aufgabe ist einfache Prozentrechnung. Wieviel Prozent ist die Fläche, die der Rasensprenger bewässert von der Fläche des Fußballfeldes? Ein Fußballfeld ist rechteckig, also kriegst du die Fläche mit a * b = 105m * 68m.

Wieviele Rasensprenger man aufstellen müsste ist auch einfache Division. Rasenfläche / Fläche die der Rasensprenger bewässert. Die letzte Frage verstehe ich nicht ganz. Wo müssen sie optimal positioniert werden... Hmm da fehlen glaube ich noch Informationen zu der Aufgabe, oder?

Comments

Bei Aufgabe 3 würde ich für die Fläche, die ein Rasensprenger bewässern kann, eher mit gleichseitigen Dreiecksflächen, als mit Kreissektoren rechnen, da vermutlich nicht damit gerechnet wird, dass das Wasser in der Erde von bewässerten zu unbewässerten Flächen fliesst. (Gibt gewisse überflutete Stellen).

Für diese Variante muss man noch wissen, wie man die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck berechnet. Und dann konkret entscheiden, ob die Höhen oder die Seiten der Dreiecke in die Längs- oder Querseite des Feldes passen.

Answer 2

Bei der ersten Aufgabe geht es um den Kreiausschnitt, der Winkel und der Radius sind gegeben.

Die Fläche für den Kreisauschnitt läßt sich so berechnen:

A=π *r²/(α/360^o)

Die Werte in die Formel einsetzten :

A=π*10²*(60/360)   ⇒   A=π*100*(1/6) ⇒   52,33        A₁=52,33m²

Bei der zweiten Aufgabe berechnet man die Fläche des Feldes und berechnet dann den Prozentsatz:

A₂=105*68          A₂= 7140 m²

7140m² sind 100%     Prozentwert ist 52,33m²    |  nun noch den Prozentsatz berechnen

(52,55/7140)*100=0,735   

Der Prozentsatz ist  0,735%.

Bei der dritten Aufgabe berechnet man die Sehnen des Kreisauschnittes, um dand die Höhe des daraus entstandenen Dreiecks zu ermitteln. Da der Winkel 60° beträgt, handelt es sich hier nicht nur um ein gleichschenkliges sondern auch um ein gleichseitiges Dreieck, also ist  die Sehne auch 10m lang und die Höhe wäre dann:

(Pythagoras anwenden)

10²=5²+h²       ⇒  100-25=h²    ⇒√75 =h   8,66=h 

Dann teilt man das Feld in Streifen ein , welche Seite man dafür mit ist hier fast egal,könnte so zum Beispiel ausehen. für die  seite 105 m braucht manfür einen Streifen 10,5+10,5=21 Rasensprenger

( Man kann dies so anordnen da der Winkel 60° beträgt, 3*60=180)

68/8,66=7,85 gerundet  dann 8

also braucht man ungefähr 8*21 Rasensprenger   Sind dann 168 Stück. (Rundungsfehler vorbehalten)