Lokale Extrema berechnen und Monotonie bestimmen: f(x) = x^3 * √ (|1-x|)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Funktion

\( f:[-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \quad \text { mit } \quad f(x)=x^{3} \cdot \sqrt{|1-x|} \)

alle lokalen Extrema und bestimmen Sie alle Intervalle auf denen \( f \) monoton ist.

Comments

Du mußt 2 Fälle untersuchen

1 - x > 0
x < 1
f ( x ) = x^3 * √ ( 1 - x )
Differenzieren nach der Produktregel
x = 0 ( Sattelpunkt )
x = 6/7

1 - x < 0
x > 1
f ( x ) = x^3 * √ [ ( 1 - x ) * (-1) ]
f ( x ) = x^3 * √ ( x -1 )

Handschriftlich habe ich den 1.Fall schon
berechnet.

Ich stelle den Lösungsweg dann auch hier ein.

mfg Georg

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ist das nun für die Berechnung oder die Monotonie?

Answer 1

Hier schon einmal ein Bild
 

Und die Berechnung für Fall 1

Am Besten du fragst wieder nach.

mfg Georg

Comments

Es müssen beide Funktionen untersucht werden.

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wozu stehen nun die fälle?

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Du hast heute hier im Forum 4 oder 5 Fragen gestellt,
teilweise auf recht hohem Niveau.
Deshalb weiß ich nicht ob ich hier auf den Arm genommen
werden soll.

| 1 - x |  heißt Betrag von 1 - x.
| 4 | = 4
| -4 | = 4

Falls 1 - x > 0 dann
| 1 - x | = 1 - x
gilt für 1 - x > 0  => x < 1

Falls 1 - x < 0 dann muß
( 1 - x ) mit (-1) multipliziert werden um auf
einen positiven Wert zu kommen
| 1 - x | = ( 1 - x ) * (-1) = x - 1
gilt für 1 - x < 0  => x > 1

Georg

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Entschuldige,

nein wirst du nicht. Die Frage war unnötig.

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wie sieht die Ableitung im 2. Fall aus. Irgendwie komm ich nicht weiter...

Entschuldige

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Ich helfe gern Verzweifelten weiter. Grins.

Die Funktion ist also im Def-Bereich x > 1
monoton steigend.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

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also ist bei 1 keine extremstelle?

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x = 1 ist eine Extremstelle ( siehe den Graphen )

Extremstelle ist auch definiert durch :
Vorzeichenwechsel der Steigung ( hier von fallend auf steigend ).

mfg Georg

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aber diese extremstelle kann ich mit der ableitung aus dem 2. fall errechnen?

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Auf meinem letzten Zettel für Fall 2 schrieb ich :
Extremstellen bei x = 0 und x = 6/7
Beide Stellen liegen nicht im Def-Bereich von Fall 2
und scheiden somit aus.

Die Stelle x = 1 ist zunächst weder für den Fall 1 noch für den
Fall 2 eine Extremstelle.
Die Stelle wäre für die Funktionen ein sogenanntes " Randmaximum "
oder besser " Randminimum " an der Grenze des jeweiligen Def-Bereichs.
Zum Extremum wird die Schnittstelle weil dort auch ein Vorzeichenwechsel
der Steigung stattfindet.
Georg