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Kompletten Zylinder aus nur zwei Werten berechnen - Neues Mathe-Programm!

+2 Daumen
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In den letzten Tagen hatte ich das Programm zum Berechnen des Volumen eines Zylinders entwickelt, das eine interaktive 3D-Darstelllung und TeX-Formeln bietet, siehe hier. Heute habe ich eine wesentliche Weiterentwicklung fertiggestellt, die jedem Lehrer und Schüler eine echte Hilfe sein wird:

Bild Mathematik

Link: Zylinder aus zwei Werten berechnen (3D Zylinder Programm)

URL: http://www.matheretter.de/formeln/geometrie/zylinder/

Gebt einfach zwei Werte ein und der Rest wird euch automatisch berechnet. Der "Rest" sind je nach Eingabe beim Zylinder: Radius, Höhe, Durchmesser, Umfang, Grundfläche, Mantelfläche, Oberfläche und Volumen. 

Dieses Programm eignet sich, um schnell Aufgaben auf Richtigkeit zu überprüfen oder um sich die Größe des Zylinders im Raum (3D) zu visualisieren. Schüler und Lehrer können dieses Programm frei im Unterricht oder für Hausaufgaben verwenden!

Ich würde mich freuen, wenn ihr eure Bekannten den Link zum Programm mailt, sodass das Programm intensiv genutzt wird und ggf. Fehler gefunden und beseitigt werden.

Danke und liebe Grüße!
Kai


PS: Hinweis, die Zylinderwerte lassen sich aus fast allen Wertepaaren berechnen. Es gibt jedoch ein paar wenige Ausnahmen, siehe Tabelle unten auf der Zylinderseite.

geschlossen: News
Gefragt 13 Aug 2014 von Matheretter Experte V
Ich finde das einfach Klasse !
Man muss aber auch bedenken , das am Zylinder rechnerische Lösungen und Formelumstellungen wichtig sind !

Du meinst, ich sollte noch einbauen, wie man aus den zwei gegebenen Werten die restlichen Werte berechnet? Also den Rechenweg unten in Form von TeX-Code anzeigen?

Hallo Kai,

  ich habe die Seite gerade einmal überflogen.

  Wieso läßt sich aus Oberfläche- und Volumenangabe der Zylinder
nicht berechnen ? 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

  mfg Georg

Vielleicht fehlten auf die schnelle die nötigen Formeln:

r = xxxxx

h = xxxxx

Die normalen Formeln kann man ja eigentlich auswendig. Aber für diese muss man sich soofern man sie nicht auswendig weiß 2 Minuten hinsetzen und nachdenken.

@georgborn: Vielen Dank für den sehr guten Hinweis! Das hatte ich nach 4 Stunden Schlaf + 18 Stunden Arbeit + 4 Stunden Schlaf + 19 Stunden Arbeit und nebenbei noch einem Dutzend anderen Problemen dann doch übersehen ;-)

Zur Berechnung nutze ich nunmehr die Formel h = r / (O·r/(2·V)-1).

Ist eingebaut: http://www.matheretter.de/formeln/geometrie/zylinder/
Lg Kai


@Der_Mathecoach: Kannst du interessehalber die Herleitung deiner Formeln als Kommentar posten? Ich denke, deine r = O/(4·pi·V) sowie deine h = 16·pi·V3/O2 sind falsch.

Ja. Die Formel waren kompletter Unsinn. Hab mich schon gewundert warum die so einfach waren. 

Probier mal folgende Formel für r:

r = √(2·O/(3·pi))·COS(ACOS(- V·√(54·pi/O^3))/3)

Ich habe sei jetzt auf die schnelle nur an einem Beispiel getestet.

Sobald ich die Höhe habe, kann ich den Radius daraus in Verbindung mit anderen Formeln ermitteln.

Habe das Programm noch dahingehend verbessert, dass für die nicht-berechenbaren Paare bezüglich der Höhe, also: Radius und Umfang, Radius und Grundfläche, Umfang und Grundfläche; nun je nach aktivem Feld das andere berechnet wird. Beispiel: Sind Radius und Umfang gegeben, kann die Höhe nicht berechnet werden. Ist nun Radius aktiv, wird daraus mindestens der Umfang berechnet und vice versa.

Funktion hinzugefügt, zwei Werte über die URL zu übergeben.

Beispiele:

Radius und Höhe:
http://www.matheretter.de/formeln/geometrie/zylinder/?r=2,25&h=0,5

Volumen und Umfang:
http://www.matheretter.de/formeln/geometrie/zylinder/?v=30&u=5

Durchmesser und Mantelfläche:
http://www.matheretter.de/formeln/geometrie/zylinder/?d=4,314&m=12

etc.

Falls euch hier ein Fehler auffällt (die Implementierung war nicht ganz einfach), bitte Bescheid geben.

Ab sofort könnt ihr das Zylinder-Programm gerne bei euren Antworten benutzen!

Danke,
Kai

Weitere Änderungen:

- TeX-Parsing herausgenommen, stattdessen werden die aktiven Werte zum TeX-Tool verlinkt. Das Laden war mit 1230 kb einfach zu viel, nun sind es 780 kb.

- Ergebnisse werden als Text zum schnellen Kopieren links dargestellt: 

Bild Mathematik

- Aktuelle Eingaben können verlinkt werden, siehe unten bei Optionen:

Bild Mathematik 

Offen:
Bestenfalls aufzeigen, wie aus den beiden gegebenen Werten alle anderen berechnet werden. 

Leider scheint es nichts zu geben mit
gegeben : O und V und der Rückrechnung auf
r und h.

obiges Beispiel und Voreinstellung Proramm / Kai
Es gibt zwei Lösungen
r = 2 und h = 1.5
sowie
r = 1 und h = 6

Die Umstellungen der verwendeten Gleichungen
für O und V nach r und h
scheint sehr kompliziert zu sein.
Aber das interessiert mich noch.

mfg Georg

Danke für den Hinweis, per Link geht es nicht: http://www.matheretter.de/formeln/geometrie/zylinder/?v=30&o=80

Aber wenn man es hier manuell eingibt: http://www.matheretter.de/formeln/geometrie/zylinder/ scheint es zu klappen. Dann erhält man:

Ergebnisse:

Radius = 3,108
Höhe = 0,989
Durchmesser = 6,216
Umfang = 19,528
Grundfläche = 30,347
Oberfläche = 80
Mantelfläche = 19,305
Volumen = 30

Muss ich noch prüfen.

Jetzt verstehe ich, beim Programm bin ich vom berechneten Radius ausgegangen, diesen haben wir jedoch nicht.

Nach einer Gleichsetzung von h = r / (O·r/(2·V)-1) sowie h = O/(2πr) - r und einiger Umformung bin ich jetzt bei einer kubischen Gleichung angelangt, die wir nach r auflösen dürfen: 

h = h

r / (O·r/(2·V)-1) = O/(2πr) - r

Zur besseren Lesbarkeit:

$$ \frac { r }{ \frac { O \cdot r }{ 2 \cdot V } -1 } = \frac { O }{ 2 \pi r } - r \\
0 = -2 \pi r^3 + Or - 2 \cdot V$$

Hier noch mit alleine stehendem r³, also :(-2π) gerechnet:

$$ 0 = r^3 + \frac { O }{ -2 \pi  } \cdot r + \frac { V }{ \pi } $$

0 = r3 + O/(-2*pi)*r + V/pi

Jemand eine Idee?

Falls es dir darum geht aus O und V auf
h und r zu schließen :
wie in meinem letzten Kommentar ausgeführt
scheinen prinzipiell keine eindeutigen Lösungen
möglich.
mfg Georg

Ich hatte soeben die Formel oben von Der_Mathecoach versucht:

$$ r = \sqrt{ \frac { 2·O }{ 3·\pi } } · \cos \left( \frac { \arccos( -V·\sqrt{ \frac { 54·pi }{ O^3 } )} } {3} \right) $$

scheint leider auch nicht zu klappen. Getestet habe ich mit O=50,265 und V = 25,133, bei diesen Werten müsste r=2 herauskommen.

Ich habe gerade 0 = r^3 + O/(-2*pi)*r + V/pi in wolframalpha eingegeben. Hier ist das recht heftige Resultat, die erste der 3 Lösungen (weitere siehe unten): 

Bild Mathematik

Ich habe jetzt versucht, das als Berechnung umzusetzen. Das Problem hierbei ist, dass der Radikand der Wurzel √(54πV^2 - O^3) negativ wird und das Programm dann abbricht. Ich muss einen Weg finden, hier mit komplexen Zahlen im Programm weiterzurechnen. Neuland für mich. Habe mich zwecks der Umsetzung der Programmierung an Stackoverflow gewendet.

Und hier noch ein Versuch via Wolframalpha

Alle 3 Lösungen für den Radius r lauten übrigens:

Bild Mathematik

Hier sieht man, dass für r1 keine komplexe Zahl dabei ist. Bei r2 und r3 jedoch schon.

Also beim einsetzen in meine obige Formel bekomme ich

r = 1.999941010

heraus. Das sollte stimmen. Hier wäre es natürlich unsinnig mehr stellen anzugeben wie die Werte von O und V hatten. Also gerundet 2.0

Vielen Dank für deine Rückmeldung. Ich habe jetzt gesehen, dass du die reduzierte Cardanischen Formel anwendest, selbst aber noch nicht die Formel hergeleitet.

Bei r=2 und O=50,265 erhält man V=25,132, vgl. hier

Habe gerade deine Formel getestet in wolframalpha, klappt!

Sooo! Fertig. Habe die cardanische Lösungsformel benutzt, um die 3 Lösungen für r zu bestimmen. Jetzt klappt es.

Für obiges Beispiel mit V=25,123 und O=50,265 ergibt sich Radius=2:

Bild Mathematik 

Super! Damit ist das Programm soweit fertig =)

Danke an alle, die geholfen haben! Also beim speziellen Problem thanks @georgborn @Der_Mathecoach und @Yakob.

Das einzige, was mich wundert, sind die Ergebnisse bei nur kleinen Unterschieden in den Werten, zum Beispiel:

Bei V=10 und O=25,7 ergibt sich (klick hier):

r1 = 1.18397887801896
r2 = -2.33524144309995
r3 = 1.15126256508099

wo hingegen bei V=10 und O=25,6 folgendes Ergebnis entsteht (klick hier):

r1 = -2.332211020953563
r2 = 1.1661055104767815 + i* 0.07099043273868184
r3 = 1.1661055104767815 - i* 0.07099043273868184

Wolframalpha bestätigt diese Ergebnisse! Rechnung I mit 25,7 und Rechnung II mit 25,6.

Hallo Kai,

  mein Matheprogramm ( Mupad ) zeigt mir dieselben Ergebnisse an.
Einmal mit Imaginäranteil ( O = 25.6 ) und einmal ohne ( O = 25.7 ).

  Die Graphen können gezeichnet werden sind fast identisch.

  Worin die Unterscheide im Ergebnis begründet sind kann ich
dir leider auch nicht sagen.

  mfg Georg

So, nun noch eine nette Verbesserung zur Usability:

Bild Mathematik 

Einfach ins Eingabefeld klicken und Cursortasten benutzen, das sieht dann so aus:

Bild Mathematik 

Hoffe, es gefällt =)

Liebe Grüße
Kai

Hallo Kai,

  von Programmierer zu Programmierer.
  Ich war die letzten 25 Jahre selbststänidiger Programmentwickler,
1-Mann Büro, Produkt " Statik für den allgemeinen Hochbau ".
  Bei der Entwicklung der Eingabebildschirme traten mitunter
dieselben Fragen auf wie bei deinem Eingabebildschirm.

  Ich habe immer die robuste Variante gewählt welche in deinem
Fall so aussschauen würde.

  1. keine Eingabe von " 0 ", negativen Werten oder " Leerfeld " zulassen.
Sofort durch " 1 " ersetzen.
  2. Ausgegangen wurde von der Eingabe von r und h und der Berechnung
aller anderen Werte.
  3. wird d, U oder G geändert dann Neuberechnung von r und mit 2.
weitermachen.
  4. Wird M, O oder V geändert dann h neu berechnen und mit 2.
weitermachen.

  Hiermit hast du eine robuste Eingabe für alle Fälle. Die Anwender
haben die Bedienung schnell heraus.

  Man kann auch im Eingabebildschirm direkt darauf hinweisen
Eingabefelder
Durchmesser ( Neuberechnung r )
Umfang ( Neuberechnung r )
Grundfläche ( Neuberechnung r )

Mantelfläche ( Neuberechnung h )
Oberfläche ( Neuberechnung h )
Volumen ( Neuberechnung h )

  Interessant war auch das diese relativ simple Zylinderberechnung
zu kubischen Gleichungen und komplexen Zahlen führen kann.

  mfg Georg

Hallo Georg, vielen Dank für die Hinweise. Ich habe das "Auf-Eins-Setzen" beim Quader-Programm umgesetzt. Negative Werte wollte ich zulassen, da man dann z. B. den Quader nach unten zeichnen kann. 

Die anderen Vorschläge überlege ich mir. Um so mehr Schüler,  Lehrer, Studenten die Geometrie-Programme nutzen, um so mehr erhoffe ich mir hilfreiches Feedback. Wie du sicher weißt, ein Programm erreicht nie den Status-quo ;) (... den gibt es nur bei TeX).

Schöne Grüße
Kai

--- 

Hier noch eine hiflreiche Antwort von Mitglied Yakob bezüglich der Zylinderberechnung oben, er hatte Probleme beim Posten:

"Dass es bei der Berechnung des Radius r aus Volumen V und Oberfläche O Schwierigkeiten geben kann, liegt einfach daran, dass es zu gegebenem Volumen V einen Zylinder kleinster Oberfläche mit diesem Volumen gibt. Dies bedeutet, dass die Oberfläche dann diesen Wert nicht unterschreiten darf. In diesem Fall lautet dann die Antwort einfach, dass es eben keinen entsprechenden Radius und also gar keinen solchen Zylinder gibt. Bei der Rechnung via Cardanische Formeln zeigt sich dies darin, dass man für r nur eine negative und zwei konjugiert komplexe Lösungen erhält. Durch Lösung des Extremalproblems (minimale Oberfläche bei vorgegebenem Volumen) erhält man den kritischen (minimalen) Radius rmin = Kubikwurzel(V/(2π)).
Setzt man diesen Wert in die Oberflächenformel ein, erhält man die kleinstmögliche Oberfläche Omin = 2π*rmin*(rmin+h) , die erforderlich ist, um mit dem vorgegebenen Volumen V wirklich einen Zylinder zu ergeben.
Man könnte also, wenn V und O eingegeben werden, zuerst diese Bedingung (ist O ≥ Omin ?) überprüfen und im negativen Fall die Antwort liefern, dass es keinen solchen Zylinder gibt.

Beste Grüße
Yakob"

Besten Dank, Kai !

(habe jetzt auch neuen Browser ...)

Yakob

Update: Ich habe alle Formeln und deren Rechenwege unten auf der Seite festgehalten. Den jeweiligen Rechenweg seht ihr mit Klick auf den entsprechenden Link "Umformung anschauen". 

Auf diese Tabelle könnt ihr übrigens bei allen Zylinder-Fragen auf Mathelounge.de verweisen, Also z. B. "Wie berechne ich die Zylinderhöhe aus Grundfläche und Volumen?" → Dazu einfach in der Tabelle bei Grundfläche | Volumen schauen. Dort findet man: h = M/G mit Rechenweg.

1 Antwort

0 Daumen

Hallo,

mittlerweile habe ich einen wunderbar kompakten Formelsatz erarbeitet, der für den Fall, wo Oberfläche und Volumen gegeben sind, sofort die Entscheidung liefert, wie viele Lösungen (keine, eine oder zwei) es gibt und dann außerdem die zu den Lösungen gehörigen Radien berechnen lässt. Falls Interesse daran besteht: Die entsprechende Diskussion ist beim Matheraum zu finden:  http://www.matheraum.de/read?i=1032984 . In den nächsten Tagen werde ich dort den Formelsatz (wahrscheinlich in Form eines ganz kleinen Programms) angeben. Nur ein ganz kleiner Hinweis: in diesen Lösungsformeln kommen überhaupt keine komplexen Zahlen und sogar nicht einmal Kubikwurzeln vor (dafür ein arccos und ein cos).

LG ,    Yakob

Beantwortet 23 Aug 2014 von Yakob

Hallo Yakob,

danke für deine Zuarbeit. Ich habe dein Entscheidungskriterum - 2 Lösungen, wenn O^3 / V^2 > 54·π, wenn kleiner keine Lösung und bei Gleichheit eine Lösung (jedoch Problem der Rundung bei Pi*) - direkt umgesetzt. Zum Beispiel V=10 und O=30.

Zur Lösung der kubischen Formel verwende ich die Cardanischen Formeln. Dein cos-arccos-Ansatz wäre natürlich auch möglich, um die komplexen Lösungen zu umgehen. Wenn ich es richtig beim per Mail übermittelten TI-Code erkennen konnte:

 Bild Mathematik

ist dein Lösungsweg: 

r = √( O/(6·π) ) · cos( (arccos( (V/(2·π)) / (√( O/(6·π) ))^3 + k · 2 · π) / 3) )

Wobei ich das k übrigens nicht zuordnen konnte.

Ggf. führt die Formel auf die gleichen Ergebnisse wie die Formel, die vom Mathecoach oben vorgeschlagen wurde? r = √(2·O/(3·pi))·COS(ACOS(- V·√(54·pi/O3))/3)

Schöne Grüße
Kai



*Rundung von Pi: Eingaben mit Pi, also zum Beispiel O = 6 π und V = 2 π lassen sich in Javascript nicht umsetzen. Hier wird mit angenähertem Pi gerechnet, zusätzlich werden im Programm alle Werte auf 3 Nachkommastellen gerundet. Ergebnis wäre für das Beispiel: r1 = 1,007 und r2 = 0,993. Ich hoffe, dieser "Pi-Spezialfall" kommt nicht allzu häufig vor. Und falls, dann kann der Benutzer eventuell an der Aufgabenstellung und den gerundeten Werten erkennen, dass es eigentlich nur eine Lösung sein soll. Alternativ könnte ich Werte, die nur 0,01 auseinander sind, zu einem Ergebnis zusammenfassen, aber das ist ggf. ein wenig zu viel Manipulation.

Naja, ich habe eben ganz mit Absicht nicht versucht, alles in eine einzige und notwendigerweise unübersichtliche Megaformel reinzupacken !  Wer prüfen will, ob meine Lösung mit der von Mathecoach übereinstimmt, darf dies gerne tun. Mir selber ist die Darstellung mit den paar Hilfsgrößen wesentlich angenehmer. 

Die Formel von Mathecoach liefert allerdings nur eine Lösung, mein kompaktes Programm aber alle jeweils möglichen. Der Index k nimmt nur den Wert 1 an, falls es eine einzige Lösung gibt. Gibt es zwei Lösungen, so erhält man die beiden möglichen (positiven) Radien r1 und r2 , indem man eben einmal k=1 und dann k=2 einsetzt. Würde man k=0 einsetzen, erhielte man die (ohnehin praktisch nicht brauchbare) Lösung mit negativem Radius.

LG ,   Yakob

Hallo Kai
Du hast geschrieben:

"Ich hoffe, dieser "Pi-Spezialfall" kommt nicht allzu häufig vor. Und falls, dann kann der Benutzer eventuell an den Werten und der Rundung erkennen, dass es eigentlich nur eine Lösung gibt." 
 
Naja, ich vermute halt, dass einige User das Programm natürlich auch genau an solchen „kritischen“ Beispielen werden testen wollen. 

"Alternativ könnte ich Werte, die nur 0,01 auseinander sind, zu einem Ergebnis zusammenfassen, aber das ist eventuell ein wenig zu viel "Manipulation“."

Ich würde nicht auf nahe beieinander liegende r-Werte testen, sondern lieber schon vorher, bei dem Wert, den ich in meinem Programm mit Q bezeichnet habe. Kritisch wird es dort ja, wenn Q ganz dicht bei 1.000 liegt. Man könnte also z.B. den zunächst berechneten Wert von Q auf z.B. 5  (oder je nach Rechenpräzision deiner Software noch etwas mehr)  Stellen nach dem Komma  runden und dann diesen neuen Wert der Entscheidungsfrage „Ist Q gleich 1 oder größer oder kleiner ?“ unterwerfen. Alle Schlaumeier, die versuchen, das Programm mit Beispielen ganz nahe an der kritischen Grenze zu testen, würden dann die Antwort erhalten, dass es genau eine Lösung gibt. Es wird aber möglicherweise auch Fälle geben, bei denen es tatsächlich zwei Lösungen gibt, die sich aber (auf drei Nachkommastellen gerundet) anscheinend nicht voneinander unterscheiden. In einem solchen Fall wäre es durchaus gerechtfertigt, die Antwort zu geben:  „ Es gibt zwei Lösungen, nämlich  r1 = 2.374  und  r2 = 2.374 „  !

Super, danke für den Nachtrag und den Hinweis zu k.

NEU: Dem Programm wurden die Ergebnisse mit Pi π an entsprechenden Stellen hinzugefügt, Beispiel:

http://www.matheretter.de/formeln/geometrie/zylinder/?h=2&r=3

Ergebnisse:

Radius = 3
Höhe = 2
Durchmesser = 6
Umfang = 18,85 = 6·π
Grundfläche = 28,274 = 9·π
Mantelfläche = 37,699 = 12·π
Oberfläche = 94,248 = 30·π
Volumen = 56,549 = 18·π

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