Untersuchen Sie die Funktionsgleichung der Funktion f auf Symmetrie.

Question

Hi ich habe da ein kleines Problem bei meiner Aufgabe "Untersuchen Sie die Funktionsgleichung der Funktion f auf Symmetrie."

a) f(x) = 0,5x⁴ + 3x² - 2,5

b) f(x) = x³ + 4x + 2

c) f(x) = 6x² + 6x

d) f(x) = x⁵ + x³ +x

Zuerst habe ich keine Ahnung wie ich das lösen soll und desweiteren wurde ich etwas von den angegeben Beispielen die ich bekommen habe verwirrt :

f(x) = 2x³ + x
f(-x) = 2(-x)³ + (-x)

= -2x³ - x

= -(2x³ + x)

= -f(x)    -> punktsymmetrisch zum Ursprung

f(x) = 5x⁴ + x²

f(-x) = 5(-x)⁴ + (-x)²

        ⁼ 5x⁴ + x²

        =f(x)   -> achsensymmetrisch zur y-Asche

Ich würde mich freuen wenn mir jemand die Beispiele erklären könnte und ob ich dann das selbe bei den Aufgaben machen muss? Sowohl frage ich mich auch warum jetzt das erste Beispiel punktsymmetrisch ist.

Von dem was ich schon herausgefunden habe hat es ja was mit ungeraden und geraden Exponenten zu tun. Aus meiner sicht heißt , dass jetzt wenn in der Funktion gerade Exponenten sind ist sie achsensymmetrisch wenn ungerade ist sie punktsymmetrisch?

Answer 1

Polynome die nur gerade Potenzen von x enthalten sind achsensymmetrisch.

Polynome die nur ungerade Potenzen von x enthalten sind punktsymmetrisch.

Polynome die gerade und ungerade Potenzen von x haben keine Symmetrie.

Ein konstanter Summand + c zählt dabei als gerade Potenz von x weil er auch als c = c * x^0 geschrieben werden kann.

a) f(x) = 0,5x⁴ + 3x² - 2,5

--> achsensymmetrisch

b) f(x) = x³ + 4x + 2

--> keine Symmetrie

c) f(x) = 6x² + 6x

--> keine Symmetrie

d) f(x) = x⁵ + x³ +x

--> punktsymmetrisch