Schnittpunkte von f mit den Koordinatenachsen bestimmen

Question

f(x) = 1/6x^4 - 4/3x^2 - 3/2

Wie kann man die Schnittpunkte von f mit den Koordinatenachsen bestimmen? Und wie kann man das Verhalten von f für x —> +-unendlich untersuchen? Ich weiß auch nicht wie man den Grafen skizzieren. Ich möchte diese Aufgabe verstehen, und es wäre nett wenn irgenjemand mir erklären möchte. Damit ich solche Aufgabe auch lösen kann!

Answer 1

1. y-Achsenschnittpunkt von y= 1/6x⁴ - 4/3x² - 3/2

kannst du direkt am Absolutglied -3/2 ablesen.

P(0 | -3/2) 

2. Schnittstellen mit der x-Achse

1/6 x⁴ - 4/3 x² - 3/2 = 0 auflösen.

Substituiere x^2 = u und löse zuerst die quadratische Gleichung

1/6 u^2 - 4/3 u - 3/2 = 0.

3. Verhalten im Unendlichen:

y= 1/6x⁴ - 4/3x² - 3/2

Hier ist nur das Vorzeichen des Summanden mit dem höchsten Exponenten wichtig.

1/6 x^4  ----> + ∞, wenn x ---> + ∞

und

1/6 x^4  ----> + ∞, wenn x ---> - ∞

4. Skizze: 

Zeichne die gefundenen Achsenschnittpunkte ein, beginne links oben und verbinde schwingvoll, so das der Graph rechts oben aufhört:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F6+x%5E4+-+4%2F3+x%5E2+-+3%2F2+%3D+0

Answer 2

f(x) = 1/6x⁴ - 4/3x² - 3/2

Wie kann man die Schnittpunkte von f mit den Koordinatenachsen
bestimmen? Und wie kann man das Verhalten von f für x —> +-unendlich
untersuchen? Ich weiß auch nicht wie man den Grafen skizzieren.
Ich möchte diese Aufgabe verstehen, und es wäre nett wenn irgenjemand
mir erklären möchte. Damit ich solche Aufgabe auch lösen kann!

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Schnittpunkt mit der y-Achse : x = 0

f ( 0 ) = 1/6*0⁴ - 4/3*0² - 3/2 = -3/2
( 0  | -3/2 )

Schnittpunkt mit der x-Achse : y = 0
f ( x ) = 1/6x⁴ - 4/3x² - 3/2 = 0

Ersetzen : x^2 = z
1/6*z^2 - 4/3*z  - 3/2 = 0  | pq-Formel oder quadratische Ergänzung
z = -1
z = 9
Zurückersetzen
x^2 = -1 
( keine Lösung. Jede Zahl quadriert ist positiv )
x^2 = 9
x = 3
x = -3
N ( 3  | 0 )
N ( -3  | 0 )

Verhalten im Unendlichen
lim x -> ±∞  [ 1/6x⁴ - 4/3x² - 3/2 ]
x kommt als x hoch 4 und x hoch 2 vor. Dies sind dann
alles positive Werte.
x^4 wächst wesentlich schneller als x^2 insbesondere wenn
x gegen unendlich geht.
lim x -> ±∞  [ 1/6x⁴ - 4/3x² - 3/2 ] = 1/6x^4 = + ∞

Um weitere interessante Punkte, Extremstellen und Wendepunkte,
für die Skizze zu berechnen bräuchte man die Differentialrechung.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.