Wurzelgleichung lösen: √(x - 3) - √(2·x - 8) = √(x - 5)

Question

Die Aufgabe ist:

√(x - 3) - √(2·x - 8) = √(x - 5)

Bei dieser Aufgabe erhalte ich beim Lösen mit der p-q-Formel falsche Ergebnisse von x.

Answer 1

Bist du auch soweit gekommen?

Erst mal quadrieren, was folgendes ergibt

$$ \sqrt { x - 3 } - \sqrt { 2 x - 8 } = \sqrt { x - 5 } \rightarrow ( x - 3 ) - 2 \sqrt { x - 3 } \sqrt { 2 x - 8 } + ( 2 x - 8 ) = x - 5 $$

So sortieren, dass die Wurzelausdrücke auf einer Seite stehen

$$ \rightarrow 2 x - 6 = 2 \sqrt { x - 3 } \sqrt { 2 x - 8 } \rightarrow x - 3 = \sqrt { x - 3 } \sqrt { 2 x - 8 } $$

Nochmals quadrieren.

$$ \rightarrow x ^ { 2 } - 6 x + 9 = ( x - 3 ) ( 2 x - 8 ) \rightarrow x ^ { 2 } - 8 x + 15 = 0 $$

Nun die pq-Formel anwenden. Probier es nochmals. Du solltest auf die Lösung x₁=5 und x₂=3 kommen ;).

Beachte, dass x₂=3 keine Lösung der Gleichung ist! x-5 mit x=3 wäre -2 -> ein negativer Radikand, was nicht erlaubt ist.

Es bleibt also x₁=5 als einzige Lösung.

Answer 2

√(x - 3) - √(2·x - 8) = √(x - 5)   | ()^2
(x - 3) - 2*√(x - 3)*√(2·x - 8) + (2·x - 8) = x - 5
- 2*√(x - 3)*√(2·x - 8) = x - 5 - (x - 3) - (2·x - 8)
- 2*√(x - 3)*√(2·x - 8) = x - 5 - x + 3 - 2·x + 8
- 2*√(x - 3)*√(2·x - 8) = - 2·x + 6
√(x - 3)*√(2·x - 8) = x - 3   | ()^2
(x - 3) * (2·x - 8) = x^2 - 6x + 9
2·x^2 - 14·x + 24 = x^2 - 6x + 9
x^2 - 8x + 15 = 0

Lösen mit pq formel gibt die Lösungen x = 5 ∨ x = 3. Die sollte man jetzt noch oben einsetzen.

√(5 - 3) - √(2·5 - 8) = √(5 - 5) Stimmt
√(3 - 3) - √(2·3 - 8) = √(3 - 5) Hier werden 2 Terme unter der Wurzel negativ

Damit ist die einzige Lösung 5.