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Aufgabe:

Es sei \( R=\mathbb{Z}[i \sqrt{5}]=\{a+i \sqrt{5} b \mid a, b \in \mathbb{Z}\} \subseteq \mathbb{C} \).

(i) Bestimmen Sie alle Teiler von \( 2, ~ 6, ~ (1+i \sqrt{5}) \) und \( 2(1+i \sqrt{5}) \).

(ii) Zeigen Sie, dass \( 6 \) und \( 2(1+i \sqrt{5}) \) in \( R \) keinen größten gemeinsamen Teiler besitzen. (Hinweis: Benutzen Sie das Betragsquadrat \( |z|^{2}=a^{2}+5 b^{2} \) für ein Element \( a+i \sqrt{5} b \in R \) ).


Ansatz/Problem:

Ich werde mal die Teiler von \( 1+i√5 \) berechnen.

Allgemein gilt \(x\) teilt \(z\), wenn ein \( y∈R\) existiert mit \( z= x·y\). So folgt \( |z|= |x·y|=|x|·|y|\) und damit \( |z|^2= |x|^2·|y|^2\).

Für \( z=1+i√5 \) gilt also \( |z|^2=1^2+5=6=|x|^2·|y|^2\). Durch faktoriseren erhält man \( |6|=|1|·|6| \) und \( |6|=|2|·|3|\).

Die Gleichung \(|1|=a^2+5b^2\) ist erfüllt, wenn \(a=1\) und \(b=0\) oder \(a=-1\) und \(b=0\).

Die Gleichung \(|6|=a^2+5b^2\) ist erfüllt, wenn \(a=1\) und \(b=1\), \(a=1\) und \(b=-1\), \(a=-1\) und \(b=1\) oder \(a=-1\) und \(b=-1\).

Keine \(a, b ∈ℤ\) erfüllen die Gleichungen \(|2|=a^2+5b^2\) und \(|3|=a^2+5b^2\).

Meine Teiler sind also \(T = \{-1, 1, 1+i√5, 1-i√5, -1+i√5, -1-i√5 \} \)

Stimmt das denn so?

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Ich glaube, da stimmt was nicht.

Wenn 1 - i*√(5) ein Teiler von 1 + i*√(5) wäre, dann müsste es ein z aus R geben mit:

z * (1 - i*√(5) ) = 1 + i*√(5)

Für dieses z bekomme ich mit (1 + i*√(5) ) / (1 - i*√(5) ) allerdings -2/3 + (1/3)i*√(5) heraus und das ist nicht in R.

Ich glaube, du hast dich bei der Lösung allein auf die passenden Beträge fixiert.

Neben den passenden Beträgen muss aber das Element ja auch in R sein.

Und das stimmt nicht in allen Fällen.

Ich glaube die Teiler sind nur 1, -1, 1 + i*√(5) und -1 - i*√(5)

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