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Ich verfilme gerade die Frage Gleichung 3. Grades lösen: x^3-6x^2+11x-6=0 als erstes Mathe-Quickie-Video. Dabei habe ich die Aufgabe dahingehend geändert, dass die gegebene Lösung für x noch nicht bekannt ist.

Im Video sage ich nun, man könne diese Lösung raten mit den zufällig gewählten Werten 0, 1, ... wobei dann x=1 bereits die erste Lösung ist.

Jetzt hatte ich erfahren, dass "Wenn die Gleichung mit 1*x^3 beginnt, kommen nur Teiler von -6 als ratbare Lösungen in Frage. Also 0 muss man nicht testen."

Meine Fragen lautet nun:

1. Welche Verfahren kennt ihr, um schnell auf die Lösung zu kommen?
2. Könnt ihr das vorgenannte Verfahren mit dem Beispiel "nur Teiler von -6" beschreiben?
3. Inwieweit würde es den Zuschauer verwirren, wenn man darauf eingeht? (muss ich wahrscheinlich entscheiden)

Es grüßt
Kai

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2 Antworten

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Beste Antwort

Also für ein allgemeines reelles normiertes Polynom n-ten Grades

$$x^n +a_{n-1} x^{n-1} + \dots +a_1 x + a_0$$

mit den (ggf. komplexen) Nullstellen \(x_1, \dots ,x_n\) gilt:

$$a_0 = \prod_{i=1}^{n} x_i$$

und

$$a_{n-1} = -\sum_{i=1}^{n} x_i.$$

(bei letzterem bin ich mir bezüglich des Vorzeichens nicht 100-prozentig sicher, genau so bezüglich der Berücksichtigung mehrfacher Nullstellen, also ob diese auch mehrfach in der Summe auftauchen. Im Produkt tauchen sie auf jeden Fall auf, denn diese Formel ergibt sich ja durch die Linearfaktordarstellung des Polynoms \(\prod_{i=1}^{n} (x_i - x)\) indem man dort 0 einsetzt)

Also der y-Achsenabschnitt jedes Polynoms ist das Produkt seiner Nullstellen und der erste Koeffizient, der nicht 1 ist, entspricht der Summe aller Nullstellen mal -1.


Im Fall n=3 ergibt sich dann eben für das Polynom

$$x^3 + bx^2 + cx + d $$

mit den Nullstellen \(x_1, x_2, x_3\):

$$ d=x_1 \cdot x_2 \cdot x_3\quad\text{und}\quad b=-(x_1 +x_2 +x_3) $$

Mit den beiden Gleichungen kann man dann versuchen Nullstellen zu erraten. Bei Polynomen zweiten Grades geht das damit ziemlich gut.

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Alle ganzzahligen Nullstellen eines ganzzahligen Polynoms sind Teiler des Absolutkoeffizienten.
Ist das Polynom zusätzlich noch normiert (d.h. der Leitkoeffizient ist 1), dann gilt sogar: Eine Nullstelle ist entweder irrational oder ganzzahlig.

D.h. zu Frage 1 würde ich sagen: Mir ist auch nur dieses Verfahren bekannt. Wenn man bei einem normierten ganzzahligen Polynom alle (positiven und negativen) Teiler probiert hat und keinen "Treffer" hatte, dann hat man wohl ganz schlechte Karten, denn dann sind alle Nullstellen irrational und meist hilft nur noch ein Näherungsverfahren (z.B. Newton).
Für Polynome zweiten, dritten und vierten Grades gibt es natürlich Lösungsformeln, aber die sind bei Grad 3 oder 4 so kompliziert, dass sie wohl niemand anwenden will (und Schüler schon gar nicht).

Zu Frage 3: Du solltest unbedingt darauf eingehen. Warum sollte das verwirren? Wenn man weiß, dass man nur die Teiler des Absolutgliedes testen muss, kann das enorm viel Zeit sparen.

Was genau meinst du mit der zweiten Frage?
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Vielen Dank für die Hinweise.

Beim Video habe ich nun einfach den Tipp gegeben, sich die Teiler des Absolutglieds anzuschauen und diese für die Lösungssuche zu nutzen. Also ohne zu erklären, warum dieses Verfahren funktioniert (dazu ist im "Quickie" nicht genug Zeit):

Dankeschön,
Kai


PS: Zweite Frage meinte die rechnerische Darstellung, weshalb man die Teiler nehmen kann. Frage 1 fragte nach anderen Verfahren. LC hat dies in seiner Antwort geklärt. Da ich nicht zwei beste Antworten geben kann, habe ich sie LC gegeben.

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