Bestimmen Sie, für welche a, b der Grenzwert lim √(2x-3) - √(ax+b) existiert.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie folgende Funktionsgrenzwerte:

a) \( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \frac{3 x^{4}-8 x^{2}+5}{5 x^{4}-8 x^{3}+3} \)

b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0-0} \sin \left(x^{2}\right) / x^{3} \)

d) Bestimmen Sie, für welche \( a \in \mathbb{R}^{+}, b \in \mathbb{R} \) der Grenzwert

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sqrt{2 x-3}-\sqrt{a x+b} \)

in \( \mathbb{R} \) existiert.

Answer 1

zu a)

lim (x → -∞) (3·x^4 - 8·x^2 + 5)/(5·x^4 - 8·x^3 + 3)

durch x^4 kürzen

lim (x → -∞) (3 - 8/x^2 + 5/x^4)/(5 - 8/x + 3/x^4) = 3/5

zu b)

lim (x-->0-) SIN(x^2) / X^3

L'Hospital

lim (x-->0-) 2·x·COS(x^2) / (3·x^2)

lim (x-->0-) 2·COS(x^2) / (3·x) = -∞

zu d)

lim (x-->∞) √(2·x - 3) - √(a·x + b)

lim (x-->∞) (√(2·x - 3) - √(a·x + b))·(√(2·x - 3) + √(a·x + b)) / (√(2·x - 3) - √(a·x + b))

lim (x-->∞) ((2·x - 3) - (a·x + b)) / (√(2·x - 3) + √(a·x + b))

lim (x-->∞) (- a·x + 2·x - b - 3) / (√(2·x - 3) + √(a·x + b))

Für a = 2 gibt es einen Grenzwert vom Typ c / ∞ = 0

lim (x-->∞) (- a + 2 - b/x - 3/x) / (√(2/x - 3/x^2) + √(a/x + b/x^2))

für a <> 2 steht hier c / 0 und das kann keinen Grenzwert geben

Comments

Und für a = 2 steht hier 0/0, weil diese Umformung schon vom Ansatz her völlig falsch ist.

Answer 2

Hier der hat einen gehörigen Bug. Ich kann keine Links posten, weil der dann jedes Mal sagt, 8 000 Zeichen überschritten. Den Link auf meine Antwort schicke ich dir daher getrennt als Kommentar.

F ( x ; a , b ) = sqr ( 2 x - 3 )  -  sqr ( a x + b )     ( 1 )

In meinem Link stelle ich dir die z-Transformation vor; nennen wir sie LG-Transformation. L wie L-y-c-o-s und G wie Godzilla. Sie lautet

      x ^ k =: 1 / z ^ n    ( 2a )

Dabei ist k die höchste Potenz, in der x vorkommt - also k = 1 . Und n ist die Ordnung der Wurzel, demnach n = 2 für Quadratwurzel.

k = 1 ; n = 2 ===> x = 1 / z ²   ( 2b )

( 2b ) einsetzen in ( 1 )

F ( x ) = F ( z ) = ( 1 / z ) [ sqr ( 2 - 3 z ² )  -  sqr ( a + b z ² ) ]   ( 3 )

Die Politik besteht immer darin, dass im Nenner " z hoch eins " steht - siehst du das?

Wenn ich jetzt die eckige Klammert gleich einer Funktion f ( z ) setze

f ( z ; a ) := sqr ( 2 - 3 z ² )   -  sqr ( a + b z ² )   ( 4a )

f ( 0 ) = sqr ( 2 )  -  sqr ( a )   ( 4b )

F ( z ) = f ( z ) / z   ( 4c )

dann haben wir mit ( 4bc ) schon eine notwendige Bedingung, dass dieser Grenzwert existiert, nämlich a = 2 . Notieren wir zwecks besserer Übersicht ( 4a ) nochmals in diesem Sonderfall:

f ( z ; 2 ) =   sqr ( 2 - 3 z ² )   -  sqr ( 2 + b z ² )   ( 5a )

f ( 0 ) = 0   ( 5b )

D.h. wegen ( 5b ) ist doch ( 4c )  nichts anderes als der Differenzenquotient von  ( 5a )  zwischen z0 = 0 und der beliebigen Stelle z . Und dem sein Grenzwert ist doch f ' ( 0 ) Existiert diese Ableitung?

f ' ( z ; 2 ) = - 3 z /  sqr ( 2 - 3 z ² )  - b z / sqr ( 2 + b z ² ) ===> f ' ( 0 ) = 0   ( 5c )