E-Funktion. Gleichung e^x*(3-x)=3 lösen. Methode?

Question

ich möchte folgende Gleichung lösung, drehe mich aber irgendwie im Kreis:

e^x*(3-x)=3

Ich habe mir überlegt das so zu machen:

Ausmultiplizieren:

3*e^x-x*e^x=3   Natürlichen Logarithmus anwenden:

ln(3)+x-ln(x)+x=ln(3)

2x-ln(x)=0

Und hier komme ich nicht weiter. Ist es bis dahin überhaupt richtig?

Comments

Eine einzige Lösung x=0 kann ich gleich sehen. Grund: e^0 =1.

Weitere reelle Lösungen gibt es vielleicht gar nicht.  Wieviele Lösungen brauchst du denn?

EDIT: Gibt es doch: etwas unterhalb von 3 bei ca. 2.8214 vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5Ex*%283-x%29%3D3

---

Hallo Lu,

Auf die Lösung mit wolframalpha bin ich auch gekommen. Nur kann ich dieses ja in der Klausur nicht nutzen, daher würde ich gerne einen genauen Rechenweg finden.

Answer 1

$$ (3-x)e^x=3  $$$$ 3 \cdot e^x -x \cdot e^x-3 =0 $$Ableitung:$$ 3 \cdot e^x -e^x -x \cdot e^x =0 $$$$ 2 \cdot e^x  -x \cdot e^x =0 $$$$ 2   -x  =0 $$$$ x  =2 $$
---> Wendepunkt bei x=2---> Annahme für nichttriviale Nullstelle als Näherungsbeginn x=3$$ 3 \cdot e^3 -3 \cdot e^3-3 =y $$$$ y=-3  $$$$ 2 \cdot e^3  -3 \cdot e^3 =y' $$$$y'= - e^3$$Tangente am Punkt der Näherung:
$$ 0=(x_{n+1}-x_n)\cdot y'(x_n)   + y(x_n)  $$
$$ (x_{n+1}-x_n)\cdot y'(x_n) =  - y(x_n)  $$
$$ x_{n+1}\cdot y'(x_n)-x_n\cdot y'(x_n) =  - y(x_n)  $$
$$ x_{n+1}\cdot y'(x_n) = x_n\cdot y'(x_n) - y(x_n)  $$
$$ x_{n+1}  = \frac{x_n\cdot y'(x_n) - y(x_n) }{ y'(x_n)  } $$
$$ x_{n+1}  = x_n -\frac{ y(x_n) }{ y'(x_n)  } $$
$$ x_{n+1}  = 3 -\frac{ y(3) }{ y'(3)  } $$
$$ x_{n+1}  = 3 -\frac{ -3 }{- e^3  } $$
$$ x_{n+1}  = 2,85 $$

Comments

Hallo pleindespoir,

vielen Dank für die Ausführliche Rechnung. Kann ich im Grunde nachvollziehen, bis auf zwei Sachen:

1) Warum ist der Näherungsbeginn bei x=3? Ist das einfach eine Vermutung, weil hier vorher gesagt wurde, dass irgendwas kleiner als 3 rauskommen muss?

2) Woher kommt die Gleichung für die Tangente am Punkt der Näherung? Ist ja im Grunde die Geradengleichung (y=mx+b), aber wieso x_n+1 ?

---

1) Warum ist der Näherungsbeginn bei x=3?

Nachdem der Wendepunkt bei x=2 festgestellt wurde und x=0 die "triviale", also "offensichtliche" Lösung ist, würde eine Näherung die bei kleiner 2 startet, zu dieser Lösung zurückführen, die wir schon haben. Der Näherungsstart sollte also grösser als 2 sein.

Die 3 bietet sich an, weil dadurch einige Berechnungen einfacher werden - genausogut hätte man auch mit 13 oder 100 anfangen können.

---

Der Näherungsbeginn ist x_n=3 und es wird an den an dieser Stelle entstehenden Punkt die Tangente angelegt.

Wo die Tangente die x-Achse schneidet, entsteht x_n+1 =2,85 also der nächste bessere Näherungswert.

Nun kann man diesen neuen Wert wieder in die gleiche Berechnung eingeben und bekommt einen noch genaueren Wert und so weiter, bis man zufrieden ist, weil sich nur noch Hundertstel hinterm Komma ändern.