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Hi habe schwierigkeiten mit folgender Aufgabenstellung

Gegeben sei die Potenzreihe n=0cnzn   wobei die Koeffzienten cn durch die rekursiv de nierte Folge

c0 = c1 = 1;            cn+1 = cn + 2cn-1 fur n ≥ 1                gegeben sind.

a) Beweisen Sie: c≥ 2n-1 und |cn+1 -2cn| = 1 fur alle n ∈ N:        (Klar mit Induktion hänge aber beim auflösen)

b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe.

c) Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten am Rand der Konvergenzkreisscheibe.

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Die Folge \( c_n \) kann man explizit wie folgt schreiben
$$ c_n = \frac{2}{3} 2^n + \frac{1}{3} (-1)^n   $$ Jetzt kann man den Konvergenzradius z.B. mit dem Quotientenkriterium bestimmen.

Avatar von 39 k

Hi. Danke für deine hilfe. Gibt es da irgendeinen trick wie man herausfindet das die folge diese gestalt hat? oder muss man erst mit einsetzen von zahlen herumprobieren?

Du machst hier den Ansatz \( c_n = \lambda^n \) und ermittelst die möglichen Werte, s.d. die Gleichung \( c_{n+1} = c_n+2c_{n-1} \) gelöst wird. Die allg. Lösung lautet dann \( a\lambda_1 + b \lambda_2 \). Die Werte für \( a\) und \( b \) bestimmst Du durch die Anfangsbedingungen.

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c0 = c1 = 1

cn+1 = cn + 2·cn-1

Induktionsanfang: n = 1 ; n = 2

c1 = 1 >= 2^{1 - 1} --> stimmt

c2 = 1 + 2·1 = 3 >= 2^{2 - 1} --> stimmt

Induktionsschritt n --> n + 1

cn+1 = cn + 2·cn-1

cn+1 >= 2^{n - 1} + 2·2^{n - 1 - 1}

cn+1 >= 2^{n - 1} + 2^{n - 1}

cn+1 >= 2·2^{n - 1}

cn+1 >= 2^n

w.z.b.w. oder q.e.d.

Avatar von 477 k 🚀

Induktionsannahme n = 1

... machst du selber

Intunktionsschritt: n --> n + 1

| cn+1 - 2·cn | = 1

cn + 2·cn-1 - 2·cn | = 1

| - cn + 2·cn-1 | = 1

| cn - 2·cn-1 | = 1

w.z.b.w.

ich habe echt 2 seiten rumprobiert mit den verschiedensten möglichkeiten die so kompliziert sind, dabei geht es doch so einfach...

danke dir

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