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brauche hilfe beim lösen der gleichung

6^{2x} + 6^{2x-3}=217

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Ohne Taschenrechner und in nachvollziehbaren Einzelschritten:

$$  6^{2x} + 6^{2x-3}=217  $$
$$  6^{2x} + 6^{2x-3}=6^3 +6^0  $$
$$  6^{2x} + 6^{2x} \cdot 6^{-3}=6^3 +6^0  $$
$$  6^{2x}  \cdot (1+6^{-3})=6^3 +6^0  $$
$$  6^{2x}  \cdot (6^0+6^{-3})=6^3 +6^0  $$
$$  6^{2x}  =\frac{6^3 +6^0 }{6^0+6^{-3}} $$
$$  6^{2x}  =\frac{6^3 +6^0 }{6^0+6^{-3}} \cdot \frac {6^3} {6^3} $$
$$  6^{2x}  = \frac{6^3 +6^0 }{6^3+6^{0}}   \cdot 6^3  $$
$$  6^{2x}  = 1  \cdot 6^3 $$
$$  6^{2x}  = 6^3  $$
$$  {2x}  = 3  $$
$$  x  = \frac 32  $$

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Möchtest Du andeuten, dass mein Rechenweg nicht nachvollziehbar ist?

@jd 138
Mit welchem Argument soll die Einzigkeit der Lösung folgen ?

Man kann die linke Seite als gestreckte Potenzfunktion auffassen, diese ist bijektiv.

Variante:

$$ 6^{2x} + 6^{2x-3}=217 $$
$$ 6^{2x} +\frac{ 6^{2x}}{6^3}=217 $$
$$ 6^3 \cdot 6^{2x} +6^{2x}=217 \cdot 6^3$$
$$ (6^3+1) \cdot 6^{2x} =217 \cdot 6^3$$
$$ 217 \cdot 6^{2x} =217 \cdot 6^3$$
$$  6^{2x} = 6^3$$

@pleindespoir:

$$ \begin{aligned} 6^{2x} + 6^{2x-3} &= 217 \\\\ 6^{2x}\cdot\left(1 + 6^{-3}\right) &= 217 \\\\ 6^{2x}\cdot\frac{217}{216} &= 217 \\\\ 6^{2x} &= 216 \\\\ 6^{2x} &= 6^3 \\\\ 2x &= 3 \\\\ x &= 1.5 \end{aligned} $$Diese Rechnung folgt der Strategie, zunächst so umzuformen, dass die Variable \(x\) nur noch an einer Stelle der Gleichung vorkommt. Dann wird zusammengefasst und aufgelöst. Bei Deinen Umformungen ist mir die Strategie nicht klar.

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6^{2x} + 6^{2x-3} = 217
6^{2x} + 6^{2x} / 6^3 = 217
[ 216 *6^{2x} +  6^{2x} ] / 216 = 217
217 * 6^{2x} = 217 * 216
6^{2x} = 216
6^{2x} = 6^3
2x = 3
x = 1.5

Probe
6^{2*1.5} + 6^{2*1.5-3} = 217
216 + 6^0 = 217
216 + 1 = 217

Avatar von 122 k 🚀
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2xln 6 +(2x-3) ln 6 = ln 217

3,58 x + 3,58x - 5,37  =  5,38

7,16 x       = 10,75

x       = 1,5

Avatar von 4,7 k

Wie kommt denn die erste Zeile zu Stande?

Fehlerhinweis
Deine Umformung
62x + 62x-3 = 217   | ln ( )
ln(62x)  + ln(62x-3 ) = ln ( 217 )
stimmt leider nicht

Richtig
62x + 62x-3 = 217 |  ln ( )
ln ( 62x  + 62x-3 ) = ln ( 217 )

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brauche hilfe beim lösen der gleichung

62x + 62x-3=217

Hi, es ist doch

$$217 = 216+1 = 6^3 + 6^0 = 6^{2\cdot 1.5} + 6^{2\cdot 1.5 - 3}$$

und damit \(x=1.5\).

Und das muss auch die einzige Lösung sein.

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