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Wie kann ich dieses Lineare Gleichungssystem lösen?

0 Daumen
303 Aufrufe
Hallo,

ich brauche etwas Starthilfe für die folgende Aufgabe.

Es wäre nett, wenn Sie mir die Rechenschritte zeigen könnten, wie man auf die Lösung kommt. Ich komme irgendwie nicht weiter. Ich danke ihnen!

Aufgabe:
Wir betrachten das lineare Gleichungssystem:

7x₁ + 5x₂ + 6x₃ = 0
7x₁ + 2x₃ = 0
5x₂ + 4x₃ = 0

Bestimmen Sie die Menge aller Lösungen (x₁; x₂; x₃) ∈ R₃ des Systems.
Gefragt 15 Mär 2012 von fragen-ueber-fragen

2 Antworten

+2 Daumen

was sofort ins auge fällt ist die null als lösung. das ist so bei sogenannten homogenen gleichungssystemen, wo jede gleichung auf der rechten seite die null hat. nennt man auch die triviale nullsumme. denn

7 * 0 + 5 * 0 + 6 * 0 = 0

7 * 0 + 2 * 0 = 0

5 * 0 + 4 * 0 = 0

also sind alle gleichungen erfüllt, wenn man für x1,x2,x3 die null einsetzt. ich bin jetzt nicht so geübt in solchen gleichungssystemen, ich denke aber, dass sie unendlich viele lösungen hat?! bin mir aber nicht sicher, sollte vielleicht nochmal jemand anderes drübergucken ;)

Beantwortet 15 Mär 2012 von Thilo87 Experte IV

Die Lösungen für x, y und z sind nicht definiert. Es ist nach 1 eindeutigen Lösung je Variable gefragt. Jedoch gibt es unendlich viele Lösungen, von denen die 0 auch eine ist. Vgl. LGS-Rechner.

Nee, es ist nach der Menge aller Lösungen gefragt. Die Lösungsmenge ist in der Tat nicht eindeutig. Sie ergibt sich zu \(\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x = \frac{5}{14} y, z = -\frac{5}{4}y \} \) mit y beliebig. Ich würde bei dem LGS-Löser auch nicht hinschreiben, dass die x,y,z nicht definiert sind, sondern nur, ob es eine Lösung, keine oder unendlich viele gibt. Das sind genau die drei Möglichkeiten der Lösung eines LGS.

Thilo87: Zusammen mit dem Kommentar hast du einen Pluspunkt verdient.

Vielen Dank für den Hinweis.

Das Programm habe ich nun erweitert. Statt "nicht definiert" wird unterschieden in "keine Lösung" oder "unendliche viele Lösungen".

Bei obiger Aufgabe steht nun: "unendlich viele Lösungen".

0 Daumen

7x₁ + 5x₂ + 6x₃ = 0
7x₁ + 2x₃ = 0
5x₂ + 4x₃ = 0

7x + 5y + 6z = 0   (I)

7x + 2z = 0          (II)

5y + 4z = 0          (III)

-------------------------------

5y + 4z = 0 (I)-(II) Dasselbe wie (III)

y = -4z/5  (IV)  | in (I)

7x - 20z/5 + 6z = 0

7x - 4z + 6z = 0

7x = 2z

x = 2z/7

L = { (x,y,z) | x = 2z/7  und y = -4z/5, z Element R beliebig} 

Thilo87 im Kommentar hat y als Parameter gewählt.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=7x+%2B+5y+%2B+6z+%3D+0%2C++7x+%2B+2z+%3D+0%2C+5y+%2B+4z+%3D+0++++

nimmt x als Parameter.

Beantwortet 18 Dez 2014 von Lu Experte LXXXIII

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