Beweis (1+1/n)^n>=2 Ungleichung, Vollständige Induktion

Question

ich soll zeigen:

Für alle n aus den natürlichen Zahlen gilt:

(1+1/n)^n>=2

(1-1/n)^n>=0

(1-(1/n+1)^n+1>=(1-1/n)^n

ich habe das mit vollständiger Induktion versucht, aber bisher leider ohne Erfolg....

Comments

Die erste Aussage ist falsch, daher wird der Beweis schwierig werden...

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Wieso ist das falsch?

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Hm... jetzt, wo du es sagst, habe ich Zweifel. :-)

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Das hoffe ich. :D

@Fragesteller: Wie wär's mit der Bernoulli-Ungleichung?

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Wie soll das mit der Bernoulli-Ungleichung gehen?

Die lautet doch:

(1+x)^n>=1+n*x

Das ist aber doch was ganz anderes als meine Gleichungen...

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Vergleiche mal die beiden Terme \((1+x)^n\) und \(\left(1+\frac 1 n\right)^n\). Fällt dir da etwas auf?

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x= 1/n      ??

Sorry, aber ich habe gerade leider keinen Plan :-/

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Dann setz doch mal \(x=\frac 1 n\) in die Bernoulli-Ungleichung ein.

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Okay, für die ersten beiden ist es ja dann nur einsetzen und dann kommt das daraus, super!

bei der dritten, kann ich da das Ergebnis von der zweiten Gleichung irgendwie verwenden?

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Diese Ungleichung, die da steht, sieht sehr komisch aus (und die Klammersetzung passt nicht). Soll das vielleicht \(\left(1-\frac 1{n+1}\right)^{n+1}\geq \left(1-\frac 1 n\right)^n\) heißen? D.h. die Folge \(\left(\left(1-\frac 1 n\right)^n\right)_{n\in\mathbb N}\) ist monoton wachsend.

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ja, genauso sieht die Ungleichung aus. Sorry für die schlechte Klammersetzung.

wieso monoton wachsend? Es ist doch so, dass 1/n gegen 0 läuft, das heisst die komplette Klammer läuft gegen 1, heisst das alles läuft gegen 1 oder nicht?

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Wegen des Exponenten geht der ganze Ausdruck nicht gegen 1.
Aber gegen was die Folge konvergiert, ist erstmal egal. Du sollst ja nur die Ungleichung zeigen.

Der Ausdruck \(\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n\) ist für \(n\in\mathbb N\) immer positiv, d.h. das Dividieren der Ungleichung durch diesen Term ist eine Äquivalenzumformung. Wir erhalten damit die äquivalente Ungleichung \(1-\frac 1{n+1}\geq \frac{\left(1-\frac 1 n\right)^n}{\left(1-\frac 1{n+1}\right)^n}\). Die Gültigkeit dieser Ungleichung musst du nun zeigen. Vereinfache dazu erstmal die rechte Seite; am Ende brauchst du wieder die Bernoulli-Ungleichung.

Answer 1

Zur ersten Aufgabe: (1+1/n)ⁿ ≥ 2     ;     n ∈ ℕ

Zunächst zeige ich, dass die Folge (1+1/n)ⁿ monoton wachsend ist.

Gegeben seien n+1 positive Zahlen. Die erste Zahl sei 1 und alle weiteren Zahlen seien (1+1/n). Da nicht alle Zahlen gleich sind, muss das arithmetische Mittel dieser Zahlen größer als das geometrische Mittel dieser Zahlen sein:

https://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel

$$ \frac { 1+n\left( 1+\frac { 1 }{ n }  \right)  }{ n+1 } > \sqrt [ n+1 ]{ 1\cdot { \left( 1+\frac { 1 }{ n }  \right)  }^{ n } } $$
$$ 1+\frac { 1 }{ n+1 } > \sqrt [ n+1 ]{ { \left( 1+\frac { 1 }{ n }  \right)  }^{ n } } $$
$$ { \left( 1+\frac { 1 }{ n+1 }  \right)  }^{ n+1 } > { \left( 1+\frac { 1 }{ n }  \right)  }^{ n } $$
Damit ist die Monotonie gezeigt. Aus der Monotonie folgt:
(1+1/n)ⁿ ≥ (1+1/1)¹ = 2
w.z.b.w.


Zur zweiten Aufgabe: (1-1/n)ⁿ ≥ 0     ;     n ∈ ℕ; n ≥ 1

n ≥ 1                        | 1/(...)
0 ≤ 1/n ≤ 1               | *(-1)
0 ≥ -1/n ≥ -1            | +1
1 ≥ 1-1/n ≥ 0           | (...)ⁿ
1 ≥ (1-1/n)ⁿ ≥ 0

Somit gilt auch:
(1-1/n)ⁿ ≥ 0
w.z.b.w.


Zur dritten Aufgabe: (1-(1/n+1)ⁿ+1 ≥ (1-1/n)ⁿ

Klammersetzung ist falsch!

Comments

Wie hast du die Mittel berechnet?

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Die Ausgangszahlen für die Mittelwertberechnungen sind:

a₁ = 1

a₂ = a₃ = .... = a_n = a_n+1 = 1+1/n

Die 1 kommt also einmal vor und der Wert 1+1/n genau n-mal. Deshalb ist die Summe dieser n+1 Zahlen:

a₁ + .... + a_n+1 = 1 + n * (1+1/n) = 1 + (n+1)

Für das arithmetische Mittel muss die Summe durch die Anzahl der Zahlen, also durch n+1, geteilt werden:

(a₁ + .... + a_n+1) / (n+1) = (1 + (n+1)) / (n+1) = 1 + 1 / (n+1)

Das Produkt dieser n+1 Zahlen ist:

a₁ * .... * a_n+1 = 1 * (1 + 1/n)ⁿ = (1 + 1/n)ⁿ

Für das geometrische Mittel muss die (n+1)-te Wurzel aus dem Produkt gezogen werden:

$$ \sqrt [ n+1 ]{ { a }_{ 1 }\cdot ...\cdot { a }_{ n+1 } } =\sqrt [ n+1 ]{ { \left( 1+\frac { 1 }{ n }  \right)  }^{ n } } $$

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Alles klar\(\)!