Trigonometrische Gleichung lösen.

Question

$$\sin { \left( 2\times \arccos { \left( x \right)  }  \right) =\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } }  } $$ Folgende Gleichung soll ich lösen Es soll dabei nach x aufgelöst werden.

Answer 1

Hallo

Wenn ich mich nicht verrechnet habe:

:-)

Comments

Vielen Dank für deine Mühe, aber ich kann das Wort über Wikipedia noch nicht lesen. Wenn du mir das noch verrätst, verstehe ich dein Rechenweg!!

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das heißt Tabelle

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Achtung !!

Du mußt die Probe machen. durch das Quadrieren entstehen " Scheinlösungen" .

-1/2 ist KEINE Lösung , der Rest ja

:-)

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Besser wäre \(\sqrt{1-x^2}\) auszuklammern als zu quadrieren. Dann erhielte man auch keine Scheinlösungen.

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ja hast natürlich Recht , ist im Recheneifer untergegangen .

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Jetzt habe ich deinen Weg durchblickt!! Vielen Dank Aber das geht doch auch noch einfacher oder?

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ja , indem Du das von Gast machst.

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Ausklammern bedeutet den Ausdruck als (1-x²)^1/2 zu schreiben ?

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Schau hier:(Weg über Ausklammern)

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Das kenne ich doch!! Jetzt habe ich es!! Und noch einen schönen Abend.

Answer 2

Quadrieren, dann sin²=1-cos² verwenden, anschließend \( \cos {2x}=2(\cos x)^2-1 \). Damit eleminierst du die trigonometrischen Funktionen und übrig bleibt eine quartische Gleichung.

Comments

Erstmal danke für deine schnelle Antwort, aber so ganz habe ich das noch nicht durchschaut

Ich schreibe hier mal meinen Rechenweg rein. Quadrieren um die Wurzel zu entfernen. 1. sin²(2* arccos(x))= 1-x² sin² durch 1-cos(x) ersetzen. 2. 1-cos(2*arccos)= 1-x² Und jetzt müsste ich das -x² noch auf die andere Seite holen. 3. 1-cos(2*arccos) +x²= 1 Und hier weiß ich leider auch nicht weiter

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Es muss \( \sin^2 \) durch \( 1-\cos^2 \) ersetzt werden. Das verwandelt \( \sin^2(2\arccos x) \) in \( 1-(\cos(2\arccos x))^2 \). In diesem Term kannst du  \( \cos(2\arccos x) \) durch \( 2(\cos {(\arccos x)})^2−1 \) ersetzen, was sich zu \( 2x^2-1 \) vereinfachen lässt.

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Ich verstehe deine Schritte schon sehr gut, aber warum kannst einfach die 2 vor dem arccos(x) einfach nach vorne ziehen? Verändert das nicht die Amplitude der Kosinus Umkehrfunktion?

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Habe ich richtig gerechnet?