Integral Deltafunktion

Question

Könnte mir jemand erklären, warum folgender Sachverhalt gilt:

Ich weiss, dass das Integral über die Deltafunktion ja gleich 1 sein muss und die Delafunktion einen Peak darstellt, aber wieso ist das in diesem Zusammenhang gleich f(x₀)?

Answer 1

es ist per Definition

\( \int f(x) \delta(x) dx = f(0) \).

Daher gilt mit \( x' = x - x_0 \) und \( dx' = dx \) die Gleichung

\( \int f(x) \delta(x-x_0) dx = \int f(x'+x_0) \delta(x') dx' = \int g(x') \delta(x') dx' = g(0) = f(x_0) \),

wobei \( g(x') = f(x' + x_0) \) als Hilfsfunktion dient.

Mister

Answer 2

der Sachverhalt kann mithilfe einer Grenzwert Darstellung der delta-distribution mit ε und Taylor Entwicklung der Funktion f um x0 bewiesen werden. Alle Terme höheren Grades enthalten ε und fallen dann letztendlich weg.