Wie gebe ich alle Elemente eines Homomorphismus an?

Question

Hallo :)

Ich habe folgende Aufgabe. Ich soll alle Homomorphismen von φ:(ℤ₆,+₆)→(ℤ₁₀,+₁₀) angeben. Ich weiß hier leider gar nicht so genau, wie ich an die Sache ran gehen soll.

Ich habe mir zuerst gedacht, dass φ(0) = 0 sein soll, da das neutrale Element von ℤ₆ und ℤ₁₀ ja die Null ist. Aber mit  φ(0) = 0 kann ich ja leider nicht die anderen wie  φ(1), φ(2) usw. finden oder?

Oder muss ich vielleicht eine Verknüpfungstafel von +6 und +₁₀ machen?

+₆ | 0 1 2 3 4 5 6
---|------------------
0  |
1  |
2  |
3  |
4  |
5  |
6  |

:)

Answer 1

Die erste Idee war schon mal nicht schlecht.

φ(0) = 0 sein soll, da das neutrale Element von ℤ₆ und ℤ₁₀ ja die Null ist.

Dann sagst du vielleicht einfach   φ(1) = x   mit x aus  ℤ₁₀

1. Fall: x=0  Dann ist wegen φ(1+1) =  φ(1) +φ(1) = 0 + 0 auch φ(2)= 0

etc. für alle n aus ℤ₆   also φ(n)= 0

2. Fall  x=1 . Dann ist wegen φ(2)  = φ(1+1) =  φ(1) +φ(1) = 1+1 = 2

und wegen   φ(3)= φ(2+1) =  φ(1) +φ(2) =1 + 2 = 3

also   φ(0)=  φ(3+3)=  φ(3) +φ(3)  = 6  aber 6 ≠ 0 in Z10, geht also nicht.

3. Fall  x=2   . Dann ist wegen φ(2)  = φ(1+1) =  φ(1) +φ(1) = 2 + 2 = 4

und wegen   φ(3)= φ(2+1) =  φ(1) +φ(2) =2 + 4  = 6

also ähnlich argumentiert     φ(0)= 12 = 2 aber  2  ≠ 0 in Z10,

und so gehst du die anderen Fälle durch.

Ich glaube x=5 klappt noch. Die anderen wohl alle nicht.

Comments

Okay danke :)

Prinzip ist mir klar geworden. Und wenn ich jetzt alles mit φ(1)=x überprüft habe, muss ich dann auch φ(2)=x überprüfen? Oder ist durch φ(1)=x schon alles abgedeckt?

Wenn ich φ(1)=x habe, muss ich dann auch noch φ(1)=x² überprüfen? Ich persönlich würde nein sagen, weil ja schon durch x alles überprüft worden sein muss. :)

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Sehe ich auch so.