Question

Ist ein Berührpunkt auch eine Schnittstelle?

Answer 1

Kommt wohl auf die Aufgabenstellung an: Wenn du alle Punkte suchst, an denen zwei Funktionen gleich sind, gehören Berührpunkte dazu, und manchmal schreibt man das als "Schnittstellen von f und g". Aber streng genommen sind Berührpunkte keine Schnittstellen, weil keine der beiden Graphen den anderen in zwei Teile zerschneidet, sondern eben nur berührt.

Comments

Hm... dann mal eine Gegenfrage:

Hat der Graph der Funktion \(y=x^3\) an der Stelle \(x=0\) eine Tangente oder nicht?

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Gegenfrage zu welcher Frage?
Aber da hab ich wohl die Begriffe "Berührpunkt" und "Schnittpunkt" zu speziell betrachtet: An Berührpunkten können sich Funktionen ja sehr wohl schneiden, sie müssen dafür dort lediglich einen Sattelpunkt haben. Und Schnittpunkte sind alle Punkte, die zwei Kurven gemeinsam haben, also insbesondere Berührpunkte, bei denen außerdem noch die Tangenten gleich sein müssen.

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Hi, die "Gegenfrage" bezieht sich auf deine Interpretation des "Schneidens" und des "Berührens". Man tut wohl gut daran, einen Schnittpunkt zweier Kurven genau dann als Berührpunkt anzusehen, wenn die Kurven in diesem Punkt eine gemeinsame Tangente haben. Dazu wird dann nicht einmal die Differenzierbarkeit benötigt.

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Wie willst du den die Tangentengleichungen aufstellen
ohne 1.Ableitung ?

Zu deiner Gegenfrage :
Hat der Graph der Funktion y=x3 an der Stelle x=0 eine Tangente oder nicht?

y ´= 3 * x^2
y ´( 0 ) = 0

Tangente
t ( x )  = 0

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Ja, sicher, die Gerade y=0 bzw. 0x+1y=0.

Wieso sollte die Tangente nicht existieren, nur weil die Tangente Steigung Null hat? Oder geht es darum, dass die Tangente die Funktion schneidet? Die Tangente einer Funktion ist nicht notwendigerweise (wie beim Kreis) die (eine der) Gerade(n), die den Kreis berührt (berühren), ohne ihn in zwei Teile zu teilen, sondern jene Gerade, die das lokale Verhalten der Funktion um einen Punkt am besten annähert. Damit schmiegt sie sich der Funktion überall außer bei Sattelpunkten an, ohne sie zu schneiden, aber bei Sattelpunkten schneidet sie sie eben. Die Tangente ist in einer "kleinen" Umgebung um diesen Punkt aber immer noch diejenige Gerade, die das lineare Verhalten der Funktion am besten annähert.

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Ja so ist es. Außer an der Stelle \(x=0\) kreuzt die Funktion \(y=x^3\) ihre Tangenten im Berührpunkt nicht. Es wäre nun nicht sehr schön, wenn die Gerade \(y=0\) nun deswegen nicht Tangente (dt. "die Berührte") genannt werden soll.

Vielmehr darf sie mit recht Tangente genannt werden und der gemeinsame Schnittpunkt ist folglich auch ihr Berührpunkt. Die der Anschauung geschuldete Versuchung, bei den Begriffen "Schneiden" und "Berühren" noch hinsichtlich des Kreuzungsverhaltens unterscheiden(°) zu wollen, führt zu unnötigen Schwierigkeiten.

(*) GiftGrün: Aber streng genommen sind Berührpunkte keine Schnittstellen, weil keine der beiden Graphen den anderen in zwei Teile zerschneidet, sondern eben nur berührt.

Umgekehrt sind alle anderen Berührpunkte von \(y=x^3\) mit ihren Tangenten ihre gemeinsamen Schnittpunkte.

Es ist also sehr sinnvoll, jeden Berührpunkt zweier Kurven als Schnittpunkt mit gemeinsamer Tangente aufzufassen und so wird es ja auch gemacht.

Bei vorliegender Differenzierbarkeit an der Berührstelle müssen dann auch die Ableitungen übereinstimmen, Differenzierbarkeit ist aber keine Voraussetzung für die Existenz einer Tangente.

Answer 2

Ja.

Für einen Berührpunkt gilt :

f ( x ) = g ( x )
f ´ ( x ) = g ´ ( x )

Beide Aussagen werden zu Aufgabenlösungen häufig ( fast immer ) gebraucht.

Comments

Betrachte dazu$$y=\sqrt[3\,\,]{x}$$ an der Stelle \(x=0\).

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Was hat der Hinweis mit der Ausgangsfrage zu tun ?

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Der Hinweis bezieht sich nicht auf die Ausgangsfrage, sondern auf deine Antwort.

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Ich habe mittlerweile den Eindruck bei dir handelt es sich
um einen Troll.
Hüpft von Thema zu Thema, macht kryptische Bemerkungen
und will einem in Endlosdiskussionen verwickeln.
Ich beende hiermit den Beitragsstrang.

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Mein Hinweis enthält ein sehr offensichtliches Gegenbeispiel zu deiner unrichtigen Behauptung in deiner Antwort. Und statt unnötig herumzupöbeln könntest du auch mal etwas nachdenken!

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Ein letzter Kommentar :

Du sagst überhaupt nicht was denn in meiner Antwort falsch ist.

Da du ja offensichtlich mehr Wissen hast als ich : warum fragst du
überhaupt ?

In meinen Kommentar kann ich keine Pöbelei entdeckem.

Nochmals : du bist ein Troll.

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Du schriebst:

Für einen Berührpunkt gilt :

f ( x ) = g ( x )
f ´ ( x ) = g ´ ( x )

Es gibt auch Berührpunkte mit senkrechten Tangenten und das bedeutet, dass an der Berührstelle keine Ableitung existiert. Mit anderen Worten: Die rot markierte Bedingung ist zwar hinreichend, aber nicht notwendig.

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@georg: Die Bemerkung von Gast jd1366 ist schon richtig; mal wieder liegt der Fehler bei dir...

Mal ein konkretes Beispiel: \(f(x)=\operatorname{sign}(x)\cdot \sqrt[3]{|x|}, g(x)=2\operatorname{sign}(x)\cdot\sqrt[3]{|x|}\)

~plot~abs(x)/x*abs(x)^{1/3}; 2*abs(x)/x*abs(x)^{1/3}~plot~

Die beiden Funktionen berühren sich bei \(x=0\), haben dort aber nicht dieselbe Ableitung (weil sie dort gar nicht differenzierbar sind).

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@Nick
es bleibt dabei : ich halte das Verhalten des Fragesteller für mehr
als trollig.

Ist ein Berührpunkt auch eine Schnittstelle?

Dies ist eine recht einfach formulierte Frage.
Zudem wies die Frage noch 2 Rechtschreibfehler auf und schien
damit nicht von einem absoluten Intellektuellen gestellt.

Meine Antwort
Für einen Berührpunkt gilt :
f ( x ) = g ( x )
f ´ ( x ) = g ´ ( x )
war zunächst durchaus angemessen.

Jetzt ( nach 8 Kommentaren ) kommt der Fragesteller  mit einer
eigenen Einschätzung :

Es gibt auch Berührpunkte mit senkrechten Tangenten und das
bedeutet, dass an der Berührstelle keine Ableitung existiert.
Mit anderen Worten: Die rot markierte Bedingung ist zwar hinreichend,
aber nicht notwendig.

Dieser Kommentar zeugt  doch von erheblichem Fachwissen und
widerspricht der einfachen Fragestellung völlig

Ich habe den Eindruck  ( die Trollmasche ist mittlerweile bekannt )

Zunächst wird eine simple Frage gestellt.
Dann wird mit endlosen kryptischen Kommentaren auf
einen Spezialfall hingewiesen den der Fragesteller sowieso
schon kennt.

Warum fragt er überhaupt ?

Wenn das kein trollhaftes Verhalten ist.

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Ich würde mal vermuten, Gast jd1922 (Fragesteller) \(\neq\) Gast jd1366.

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Das kann sein.
Wir hatten hier aber auch Fragesteller die innerhalb eines
Beitragsstrangs mit verschiedenen Nutzernamen geantwortet
haben.

Außerdem gebe ich meine Antworten zunächst dem Fragesteller
und auf dessen vermutetem Kentnisstand.

Ich habe es bei jd1366 mit jemandem zu tun der

- geniale Einzeiler hier einstellt
- sich gerne seine Weisheiten scheibchenweise aus
der Nase ziehen lassen will.
- mich und andere in eine Endlosdiskussion verwickeln will

Dazu habe ich keine Lust.

Warum stellt jd1366 seine Wissen nicht einfach als eigene
Antwort ein ? Das wäre einfacher und wir hätten es Ruck-Zuck
hinter uns.

Oder er sagt von vorne herein :
ich wiill euch meine Überlegenheit einmal zeigen
und wer von euch will sich in eine Endlosdiskussion
mit mir verwickeln lassen ? Dann können sich ja die Leute die Lust
dazu haben melden.

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@Nick
in aller Sachlichkeit

Es  wird eine von mir als Anfängerfrage eingestufte
Frage gestellt.

Das Mitglied " Giftgrün  " antwortet darauf, wobei
er darauf hinweist das " Schnittstelle " nicht so ganz
zutrifft da sich am Berührpunkt die beiden Funktionen
nicht schneiden ( überkreuzen ).

Dieser Ansicht kann man sein. Daraufhin  habe ich noch eine
mathematischere Antwort formuliert
f ( x ) = g ( x )
f ´ ( x ) = g ´ ( x )
und zudem noch darauf hingewiesen das
Beide Aussagen werden zu Aufgabenlösungen häufig
( fast immer ) gebraucht.

Das war doch eigentlich ganz gut von mir. Wenn dem
Fragesteller etwas unklar ist kann er ja nachfragen.

Dann kommen bei mir und Giftgrün Kommentare, dich ich
als vom Fragesteller kommend angesehen habe
und auf etwas von 3 Wurzel aus x oder x^3  bei x = 0
hinwiesen.

Ich habe gedacht ( hier mein Originalgedanke ) :
mit was für einem Scheiß kommt der Fragesteller jetzt.

Wenn jd1366 sich auf höchstem Niveau über mathematisches
auslassen will möge er doch bitte seine Kommentare als solche
kennzeichnen. Außerdem wäre die Einstellung einer eigenen
Antowrt effizienter. Aber das will jd1366 ja nicht.

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Georg, bitte verrenn dich da nicht.

Ich  habe (als jd1366) in meinem Kommentar zur, wie ich fand guten, Antwort von GiftGrün einen Hinweis in Form einer rhetorischen Frage gegeben. Dieser Hinweis greift in einem Beispiel noch einmal das schon in der Ausgangsfrage (die nicht von mir stammt!) angesprochene Dilemma bei der anschaulichen Interpretation der Begriffe "schneiden" und "berühren" auf und beleuchtet es von einer etwas anderen Warte. GiftGrün hat das entsprechend aufgegriffen und ich habe dazu noch eine Schlussbemerkung gemacht. Bis dahin verlief die Diskussion absolut sachlich und inhaltlich angemessen.

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Dein erster Kommentar an Giftgrün war

Hm... dann mal eine Gegenfrage:
Hat der Graph der Funktion y=x^3 an der Stelle x=0 eine Tangente oder nicht ?

Als  ich das gelesen habe habe ich gedacht ( Originalgedanken )
Was wird hier jetzt für ein Sch..ß gefragt.
( ein etwas anstößiges Wort habe ich, obwohl in der Umgangssprache
auch gebraucht, hier nur unvollständig hingeschrieben.
Damit du siehst das ich meinen Humor noch nicht ganz verloren habe.
Kürzlich kam im Fernsehen ein Bericht über Helmut Schmidt ( wegen des
Todesfalls ) bei dem ein Interview der BBC mit Helmut Schnidt gezeigt wurde.
Originaltext Helmut Schmidt :
" With respect. Margrete Thatcher is telling bullshit. "
So far so good )

Die Steigung der Funktion y = x^3 ist y´= 3*x^2 und für x = 0 ist sie 0.
Die Tangentenfunktion ist  y  = 0.
Dies dürfte doch klar sein.

Im Nachhinein und beim Vergleich mit deinem ersten Kommentar an mich
sollte es bei Giftgrün wohl auch lauten

³ √ x  anstatt  x^3

Das macht wohl mehr Sinn.

Sehe ich die Angelegenheit korrekt ?

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Hallo ich bin Gast jd1922:

Ich bin nicht der der eine Antwort gegeben hat...

Okay also ist eine BErührpunkt immer ein Schnittpunkt..

Danke

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Jaa Genau

( x ) = g ( x )
f ´ ( x ) = g ´ ( x )

Das habe ich auch in meinem Buch stehen..

Danke..

Wäre froh, wenn DU noch einmal mit einem "Ja" oder "Nein" siganlisieren kannst ob das jetzt stimmt, da gerade hier wie ich merke oft diskutiert wird Also:
Jeder Schnittpunkt ist ein BErührpunkt..?

EIne Schnittstelle ist der x-Wert vom Schnittpunkt?

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Nein, es ist so: Jeder Berührpunkt zweier Kurven an einer bestimmten Stelle muss auch ein Schnittpunkt dieser Kurven sein, d.h. bei Funktionen: Die Funktionswerte müssen übereinstimmen. Sind die Kurven differenzierbar (ggf. in einer hinreichend kleinen Umgebung um die Schnittstelle herum), dann stimmen auch die Ableitungen an der Schnittstelle überein.

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@jd1922
Man muß unterscheiden. Im Alltagsdeutsch bedeutet
- schneiden : hat die Bedeutung von sich verletzen, teilen oder kreuzen,
usw.
- berühren : sanfter Kontakt, touchieren usw. Meist ohne kreuzen.

Wäre froh, wenn DU noch einmal mit einem "Ja" oder "Nein" siganlisieren
kannst ob das jetzt stimmt, da gerade hier wie ich merke oft diskutiert wird Also:
Jeder Schnittpunkt ist ein Berührpunkt..?

Vom Alltagsdeutsch her : schneiden ohne berühren ist nicht möglich.

EIne Schnittstelle ist der x-Wert vom Schnittpunkt?
In der Mathematik
Punkt : definiert durch x und y Wert.
eine Stelle : der x -Wert

Zurück zum Unterschied von berühren oder schneiden in der  Mathematik
( diese Definition deckt 99.99 % aller Fälle ab )

- f ( x ) = g ( x ) - Schnittpunkt

- f ( x ) = g ( x ) - Berührpunkt
  f ´( x ) = g ´ ( x )

- f ( x ) = g ( x ) - Berührpunkt 2.Ordnung
  f ´( x ) = g ´ ( x )
  f ´´ ( x ) = g ´´ ( x )

usw

In Matheaufgaben findet man daher die Formulierungen

" Der Graph schneidet die x-Achse im Punkt ( 4  | 0 ) "  ( meint Fall 1 )
und
" Der Graph berührt die x-Achse im Punkt ( 4  | 0 ) " ( meint Fall 2 )

@jd1366
Ich schlage für den gegenseitigen Umgang vor

- falls dir bei einer meiner Antworten ein krasser Fehler auffällt
kannst du mich gern darauf aufmerksam machen. Mein Ziel ist
es ja auch das der Fragesteller eine richtige Antwort bekommt.

- solltest du kleine Ungenauigkeiten bei mir entdecken ( ich formuliere
nicht alle Antworten in voller akademischer Strenge ), einen
alternativen Lösungsweg bevorzugen oder eine bessere Erklärung
haben dann stell´ doch bitte eine eigene Antwort ein.

Ich kann mit diesem Vorschlag leben.

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Da mir die Angelegenheit doch noch durch den Kopf geht.

Definition Berührpunkt
f ( x ) = g ( x )
f ´ ( x ) = g ´( x )

Die beide Bilder zeigen von Graphen von
- 2 Funktionen  die an der Stelle x = 0
nicht differnzierbar sind und dann keinen
Berührpunkt haben

- dieselben Funktionen um 90 ° gedreht
die nach Definition einen Berührpunkt
haben.

Für mich liegt bezüglich des Schneidens / Berührens
derselbe Fall vor.

Bedarf die Definition einer Revision ?

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Definieren darf man, was man will, solange es nicht zu Widersprüchen führt.

Wenn ich deine Beispiele ansehe, würde ich vorschlagen.

Schnittpunkte von zwei liegen auf beiden Kurven und die Punkte der einen Kurve liegen in einer genügend kleinen Umgebung vor und nach dem Schnittpunkt auf verschiedenen Seiten der andern Kurve.

Vor und nach Berührpunkten (ebenfalls gemeinsame Punkte beider Kurven) liegen die Punkte der einen Kurve (in einer genügend kleinen Umgebung) auf derselben Seite der andern Kurve.

Wie du das nun im Koordinatensystem rechnerisch prüfen kannst, ist dir überlassen.

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@TR: In der Definition auf das "Kreuzen" abzustellen, ist - wie hier schon an anderer Stelle erwähnt - sehr unbefriedigend. Viele Fälle von Kurven mit gemeinsamen Punkten werden gar nicht oder sehr ungewöhnlich von den beiden Begriffen erfasst. So hat beispielsweise die Betragsfunktion mit der x-Achse den Ursprung gemein, kreuzt sie aber nicht. Hier nun aber von "Berühren" zu sprechen, befriedigt nicht so recht.

@Georg: Ebensowenig sollte man auf die Gleichheit der Ableitungen beim Berühren abstellen, denn sonst ergeben sich Fälle wie die schon erwähnte Funktion \(y=x^3\), die die x-Achse berührt, ihre Umkehrfunktion aber nicht die y-Achse.

Von einer guten Definition werden oft hinreichende Einfachheit und Allgemeinheit verlangt. Fasst man nun das "Schneiden" nicht im Sinne von "Durchschneiden", sondern im Sinne von "Überschneiden" auf und verzichtet auch beim "Berühren" auf die Bezugnahme zum Kreuzen, gelingt folgende, einfache, allgemeine und immer noch hinreichend anschauliche Definition:

Zwei Kurven schneiden sich in einem Punkt genau dann, wenn dieser Punkt, der dann Schnittpunkt heißt, auf beiden Kurven liegt. Zwei Kurven berühren sich genau dann in einem Punkt, wenn dieser Punkt auf beiden Kurven liegt und beide Kurven in diesem Punkt eine gemeinsame Tangente besitzen.

Daraus folgt, dass die Berührpunkte zweier Kurven auch immer zu ihren Schnittpunkten gehören.

Soweit ich sehe, entspricht dies der Auffassung von "Intersection (Euclidean geometry)" der engischen Wikipedia, während sich etwa die deutsche Wikipedia offenbar schon seit längerem in einem wenig nützlichen Begriffswirrwarr verheddert hat.

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Ich bin der Auffassung, dass man Begriffe vermeiden sollte, die unklar sind. Und wenn unbedingt nötig, definiert man halt.

@jd1355: Ich möchte schon, dass y=|x| die x-Achse "berührt". Mit "schneiden" hat das nicht viel zu tun.

Dass man alle gemeinsamen Punkte 2er Kurven als Schnittpunkte bezeichnet, stört mich dagegen weniger.

Aber da kann man direkt "gemeinsame Punkte" schreiben.

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Gemeinsamer Punkt für f ( x ) = g ( x ) ist wesentlich besser als
Schnittpunkt wird aber meistens nicht verwendet.

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Man kann auch definieren

f ( x ) = g ( x ) : Berührpunkt 0.Ordnung
und
f ( x ) = g ( x ) : Berührpunkt 1.Ordnung
f ´( x ) = g ´( x )
usw.

Wird aber selten verwendet.

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Alle Geraden im Koordinatensystem lassen sich durch
y = m * x + b beschreiben
außer
der y-Achse. Es ist aber eine Gerade.

Jetzt zurück zu den beiden Graphen die
ich eingestellt habe.

Definition Berührpunkt
f ( x ) = g ( x )
f ´( x ) = g ´( x ) gilt für alle Berührpunkte
außer
f ( x ) = g ( x )
und f und g verlaufen im gemeinsamen Punkt parallel
zur y-Achse dann sind sie auch Berührpunkte.

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TR schreibt:

Ich bin der Auffassung, dass man Begriffe vermeiden sollte, die unklar sind. Und wenn unbedingt nötig, definiert man halt. 

@jd1355: Ich möchte schon, dass y=|x| die x-Achse "berührt". Mit "schneiden" hat das nicht viel zu tun.

Dass man alle gemeinsamen Punkte 2er Kurven als Schnittpunkte bezeichnet, stört mich dagegen weniger. 

Aber da kann man direkt "gemeinsame Punkte" schreiben. 

Hi, die Misshelligkeiten kommen dadurch zustande, dass manche Leute "schneiden" eher mit "zerschneiden" in Verbindung bringen und damit bedeutungsgeich zu "kreuzen" verstehen, anstatt mit "überschneiden". Letztere Interpretation würde viele Probleme vermeiden und lässt Spielraum für eine sinnvolle Verwendung des Begriffs "kreuzen".

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Es ist wieder das Problem " Alltagsdeutsch " und " Mathematikerdeutsch ".

Die ideale Formulierung für mich ist  :
f und g haben einen "gemeinsamen Punkt ".

Ob die Funktionen  sich dann schneiden, zerschneiden, kreuzen,
überkreuzen, berühren ist dann wurscht.

Answer 3

Beispiel:

Berührpunkt P(1|3)

Schnittstelle x = 1

Folglich ist die Antwort auf deine Frage:
Nein, ein Berührpunkt ist keine Schnittstelle. Eine Stelle ist kein Punkt.