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Wie findet man im allgemeinen raus ob eine menge ein untervektorraum ist?

Aufgabe:

Welche der Mengen
$$ \begin{array}{l} {U:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 x-5 y+z(z-1)=0\right\}} \\ {V:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 x+3 z+1=0\right\}} \\ {W:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+2 y+2 z=0\right\}} \end{array} $$
bilden Untervektorräume vom \( \mathbb{R}^{3} ? \) 

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Schau mal unter

https://www.mathelounge.de/134198/welche-der-folgenden-mengen-sind-untervektorraume-von-x3-x1

Da ist das schön erklärt. Wende das dann auf deine Aufgabe an. Solltest du tatsächlich nicht weiterkommen, dann schreib mal hin was genau du nicht verstehst.

Avatar von 477 k 🚀

aber woher weiß man, ob der Nullvektor zur Menge passt?

Du setzt x=y=z=0 ein und schaust, ob das

stimmt.

bei u und w stimmt es,

bei v gäbe es 1 = 0 also falsch.

ahh ok danke, und kannst du mir noch kurz sagen, welche vektoren man zur vektorsumme nehmen soll? also um zu zeigen, dass zb, r,s in U liegen?

das musst du allgemein machen, also etwa

v = (v1;v2;v3) und w = ( w1;w2;w3)  dann z.B. bei W

wäre zu zeigen  v+w in W,

also prüfen ob  (v1+w1;v2+w2;v3+w3) in W. Einsetzen

(v1+w1) + 2(v2+w2)  + 2(v3+w3) = 0     #

und das stimmt, weil

v1+2v2++v3 = 0     und  w1+2w2+2w3 = 0

und wenn man diese beiden Gleichungenaddiert hat man #

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