Was ist ein kanonischer Ringhomomorphismus?

Question

Ich würde gerne eine verständliche Definition zum kanonischen Ringhomomorphismus haben..

Die verschiedenen im Internet kann ich nicht ganz nachvollziehen

Answer 1

es wird einfach 0 von Z auf die 0 des Ringes und

1 von Z auf die 1 des Ringes abgebildet.  Und  für jedes

x aus Z  ist   h(x) = x*1_R wobei 1_R   das 1-Element des Ringes ist.

Dann ist h ein Homomorphismus (kannst du leicht nachrechnen)

und die Bildmenge von h sind alle Ringelemente, die

man durch fortgesetzte Addition ( bzw. Subtraktion) von Einsen

bekommen kann.

Answer 2

Sei R ein Ring (mit 1). Es gibt einen einzigen Ringhomomorphismus φ von ℤ nach R, weil

• φ(1) = 1_R per Definition,
• φ(0) = 0_R wegen φ(a) = φ(0+a) = φ(0) + φ(a),
  
• φ(-1) = -φ(1) wegen 0_R = φ(0) = φ(1-1) = φ(1) + φ(-1),
• jedes z∈ℤ lässt sich als Summe von Elementen aus {1,-1} darstellen (z.B. -2=(-1)+(-1) und 3=1+1+1) und ein Ringhomomorphismus muss φ(a+b) = φ(a) + φ(b) für alle a,b erfüllen.

Dieser Ringhomomorphismus heißt kanonischer Ringhomomorphismus von ℤ nach R.

Comments

okay danke :)

In meiner Aufgabe geht es gerade darum, kannst du mir da vielleicht auch ein wenig weiterhelfen?

https://www.mathelounge.de/291891/eindeutigkeit-des-ringhomomorphismus-vom-r-t-nach-s