Hi, zerlege das Intervall \( [0,1] \) in n-Teile gleicher Länge. Die Stützpunkte sind dann \( \frac{k}{n} \) für \( k = 0, \cdots , n \)
Da die Funktion \( f(x) = x^2 +1 \) monoton wachsend ist, berechnet sich die Untersumme zu
$$ US = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{k^2}{n^2}+1 \right) = \frac{1}{n^3}\cdot \sum_{k=0}^{n-1}k^2 + 1 $$ und die Obersumme zu
$$ OS = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k^2}{n^2}+1 \right) = \frac{1}{n^3}\cdot \sum_{k=1}^{n}k^2 + 1 $$
D.h. es gilt \( OS = US + \frac{1}{n} \)
Weiter gilt
$$ OS = \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2+1 = \frac{1}{n^3}\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+1 = 1 + \frac{1}{6}\left( 1+\frac{1}{n} \right)\left( 2+\frac{1}{n} \right) $$ und das konvergiert gegen \( \frac{4}{3} \)
Da sich Ober- und Untersumme nur um \( \frac{1}{n} \) unterscheiden, konvergiert die Untersumme gegen den gleichen Wert.
