Grenzwert von einer Funktion ermitteln. lim_(x->2) (x^2 / (x + 12) )

Question

wie gehe ich am besten bei der Aufgabe vor?

$$\underset { x->\quad 2 }{ lim } \quad \frac { { x }^{ 2 } }{ x\quad +\quad 12 } $$

Wie finde ich da den Grenzwert? Vom Bauchgefühl her hätte ich ja behauptet der Grenzwert wäre bei x = -12, allerdings steht da ja x -> 2 .

Ich hoffe jemand kann mir helfen.

Answer 1

falls deine Angaben stimmen

x = 2  : 4^2 / ( 2 + 12 ) = 16 / 14

~plot~ x^2 / ( x + 12 ) ; [[ -180 | 180 | -120 | 120 ]] ~plot~

Comments

danke für deine Antwort.

Wenn ich da den Grenzwert errechnen will, muss ich einfach die 2 überall einsetzen und krieg dann 2/7 raus. Und das war schon die ganze aufgabe dann?

---

Den Grenzwert von x −> 2 zu berechnen ist sicherlich nicht sinnvoll
da der Funktionswert für x = 2 ohne Probleme berechnen werden
kann.

Sicherlich ist
lim x −> - 12(-) = - ∞
und
lim x −> - 12(+) = + ∞

gemeint. Siehe Skizze.

Falls - 12(-) = (- 12.000001 )eingesetzt wird ergibt sich der Nenner
zu -0.0000001 oder 0(-) und dadurch ergibt sich 144 / 0(-) = - ∞

Für -12(+) ist es umgekehrt.

---

Du meinst zu Beginn bestimmt:

x = 2  : 2² / ( 2 + 12 ) = 4 / 14 = 2/7 

Answer 2

Wie finde ich da den Grenzwert? 

Setze einfach x= 2 ein. Die Funktion ist ja in diesem Bereich stetig.

Vom Bauchgefühl her hätte ich ja behauptet der Grenzwert wäre bei x = -12, 

x = -12 ist die Definitionslücke deiner Funktion.

Den Grenzwert kann man für x --> beliebige Zahl oder ± unendlich suchen.

Bei x = -12 gibt es keinen Grenzwert, da x = -12 eine Polstelle deiner Funktion ist.

allerdings steht da ja x -> 2 .

Ich würde schon das ausrechnen, was verlangt ist.

Comments

Was ich nicht  ganz verstehe Lu.

Wieso ist bei manchen Aufgaben vom Grenzwert die Rede ?

Muß es nicht links- und rechtsseitiger Grenzwert heißen ?

Mit links- und rechtsseitiger Grenzwert macht die Aufgabe Sinn.

---

Der Grenzwert für x-> 2 existiert ja (Funktion ist stetig in x = 2.

Dann ist der Grenzwert von links und rechts automatisch gleich.

Könnte sein, dass man ein anderes Mal

f(x) = (x^2 (x-2))  / ((x-2)(x+12) )

gegeben hat. Auch hier unterscheiden sich ja der links- und rechtsseitige Grenzwert für x --> 2 nicht.

---

Lu, die ganze Rechnerei lohnt sich doch nur für Grenzwertbetrachtungen
bei x = -12.

x = 2 ist sicherlich ein Druckfehler im Buch. Für x = 2 ist sogar
die Angabe des Funktionswertes möglich.

Prinzpiell geht es mir aber darum warum nicht von links- und
rechtsseitigem Grenzwert die Rede ist. Ich werde dir sicherlich
nichts Neues sagen das diese verschieden sein können.

---

Wenn die beiden (wie hier bei x= -12) verschieden sind, existiert der lim_(x-> - 12) schlicht nicht.

Es ist aber durchaus wichtig zu wissen, dass man an Stetigkeitsstellen einer Funktion immer existierende Grenzwerte hat. Das wird in der Regel ein für alle Mal bewiesen. Nachher setzt man nur noch das entsprechende x. Hier x= 2 ein.

EDIT: Du solltest, wie erwähnt, in deiner ersten Zeile 4 durch 2 ersetzen. Ansonsten habe ich nichts gegen eure Diskussion von vorher.