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liebe Matheliebhaber,

Langsam, aber sicher, verzweifle ich an einer (vielleicht für viele als simpel angesehene) Problematik.

Aufgabe lautet:

Sei α ∈ ℝ. Wir definieren eine Abbildung der Ebene in sich selbst wie folgt: Rα : ℝ2 → ℝ2

$$R\alpha (\begin{pmatrix} x \\ y \end {pmatrix}):=\begin{pmatrix} cos(\alpha ) & -sin(\alpha ) \\ sin(\alpha ) & cos(\alpha ) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$


a) Zeigen Sie, dass für alle p, q ∈ ℝgilt: $$ \left< R\alpha (p),R\alpha (q) \right> =\left< p,q \right>  $$

Es gibt noch die Teilaufgaben b) & c), aber mir kommt es erstmal auf a) an...

Also: Das dürfte die isometrische Eigenschaft sein, wenn ich mich nicht irre, aber ich finde einfach keinen Ansatz für einen Beweis.

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a) kannst du einfach nachrechnen. Verwende dazu, dass \(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1 \).

Gruß

Avatar von 23 k
Okay, ich frag jetzt einfach mal dumm nach (Sorry): Wie kommst du darauf? ^^ Und 2. Reicht das wirklich?

Ich weiß, dass das Standardskalarprodukt zweier Vektoren aus dem \(\mathbb{R}^n\) invariant bezüglich der Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix ist. (Das ist hier für den zweidimensionalen Fall und Drehmatrizen zu zeigen).

Der Ansatz dies durch Nachrechnen zu zeigen liegt hier nahe, da die Rechnung im zweidimensionalen Fall nicht aufwendig ist.

Und die letzte Frage gebe ich dir zurück, warum sollte es nicht reichen?

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