Zeigen Sie für alle z, w aus Komplexen Zahlen: sin(z) + sin(w) = 2 sin((z+w)/2)cos((z-w)/2)

Question

Hallo :)

ich komme bei den aufgaben hier nicht weiter . einen Ansatz reicht mir auch aus . 

bei der a ) habe ich erstmal sin(z)^2 = -1/4 (e^iz - e^iz)^2 . ich weiß nicht wie ich nun umformen soll, damit ich auf die rechte seite der gleichung komme.

.

Answer 1

Ansatz 

Linke Seite:

Benutze die binomische Formel.

Rechte Seite:

Schreibe cos(2z) exponentiell und löse die Klammern auf.

Den vertikalen Strich in c) kannst du übrigens ignorieren. Vgl:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%283z%29+

Comments

2a habe ich :) jetzt zu 2b.

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Gleiches Verfahren: Beide Seiten exponentiell schreiben und dann die Klammern auflösen. 

Sollte eigentlich klappen. 

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wie meinen Sie es mit exponentiell schreiben  ? : D

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So wie du das gemacht hast: sin(z)² = 1/4 (e^iz - e^-iz)²  

Achtung: Deine + und - waren nicht richtig. 

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hm... ich komme grade nicht ganz drauf was sin z +sin w sein soll.

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sin(z)² = 1/4 (e^iz - e^(-iz))²  

sin(z) = 1/2 (e^{iz} - e^{-iz})

sin(w) = 1/2 (e^{iw} - e^{-iw}) 

nun diese beiden Brüche addieren. 

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ok vielen dank. ich habe eine frage. was bedeutet eigentlich zb e^iz ? was ist dieses e? 

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Nun. Du darfst bei deinen Beweisen nur Formeln benutzen, die im deinem Skript stehen. 

Schau unbedingt, was dort steht, sonst wird dein Beweis eh nicht akzeptiert. 

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ja genau, danke, das weiß ich :) ich weiß aber leider imme rnoch nicht was dieses e ist.

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ich habe nun : 

sin z + sin w = 1/2(e^iz -e^iz) + 1/2 (e^iw -e^iw)

= (e^iz -e^iz + e^iw -e^iw) / 2

= 1/2 ( e^i(z+w) - e^i(z+w) )

weiter komme ich nicht

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Weiter als bis

sin z + sin w = 1/2(e^iz -e^iz) + 1/2 (e^iw -e^iw)

= (e^iz -e^iz + e^iw -e^iw) / 2

darfst du nicht gehen.

Nun auf der rechten Seite dasselbe und dann Klammern auflösen (bei den Potenzgesetzen aufpassen!) .

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und wie sieht es bei cos z-w ? :) 

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Welche Formel findest du denn für cos(x) in deinem Skript? 

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cos(z) = 1/2 ( e^iz + e^-iz)

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cos ( (z-w)/2)  = 1/2 (e^ (i(z-w)/2) + e^ (-i(z-w)/2)  

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Bei : sin(z)² = 1/4 (e^iz - e^-iz)²  

ist es nicht : -1/4 weil (1/2i)^2 ist -1/4 ?

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ja -1/4 stimmt.

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wie kommst du auf die gleichung 
meine linke seite ist :
-1/4 ( e^2iz - 2 + e^-2iz )
rechte seite:
1/2 (1 - ( e^iz + e^-iz)

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nunja, ich habe einen anderen rechenweg gefunden . das mit e^iz ist viel zu kompliziert, meiner meinung nach.

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kannst du den rechenweg zeigen ?

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Können Sie die komplette Lösung einmal schicken?