Zeigen sie mit Hilfe der Vollständigen Induktion, dass f^{n}(x) = (√2)n e^x sin(x+(nπ/4)

Question

habe ein Problem mit meiner Matheaufgabe:

Gegeben sei die Funktion f : R -> R mit f (x) = e^xsin(x)

Zeigen sie mit Hilfe der Vollständigen Induktion, dass

f⁽ⁿ⁾(x) = (√2)ⁿ e^x sin(x+(nπ/4) 

Für alle n ∈ N₀ gilt.

Hinweis: Verwenden sie die Beziehung: sin(π/4) = 1/√2 = cos (π/4) sowie das Additionstheorem der Sinusfunktion

Ich wollte nun den Induktionsanfang für n=0 setzen und komme dann auf

e^x = e^x*sin(x) (was unsinnig scheint)

weil

f⁽ⁿ⁾(x) = (e^x • sin x)ⁿ = (√2)ⁿ e^x sin(x+(nπ/4) 

oder habe ich dort bereits einen Fehler eingebaut? Bin leider sehr unsicher was diese Aufgabe angeht.

Answer 1

f⁽ⁿ⁾ ist nicht die Funktion hoch n sondern die n-te Ableitung der Funktion. vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Notationen

Deshalb ist der Induktionsanfang: nullte ableitung von f(x), also f(x) selber=e^x sin(x), was so stimmt.