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Hallo bei der Aufgabe muss man die potenzreihe bestimmen mit x0=0

Die partialbruchzerlegung habe ich noch hinbekommen, leider weiß ich nicht weiter..

Muss man das Vlt mit der taylorreihe machen?

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Das ist ein Standardaufgabentyp. Fuer die Partialbrueche bemueht man die geometrische Reihe.

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Ich versuche es mal (ohne Garantie):

Erst mal das 1/3 ausklammern gibt

(1/3 ) *   (   1 / (z-2)   -   1 /  ( z+1) )

= (1/3 ) *   (   (-1/2) / (1 - (z/-2) )      -   1 /  ( z+1) )

und der Vergleich mit der  geometrischen Reihe mit Quotient q

für die gilt    Summe k=0 bis ∞ über q    =  1 / 1-q)

ergibt bei dir  in der Klammer  die Differenz zweier Reihen

$$ \frac { 1 }{ 3 }*(\frac { -1 }{ 2 }\sum_{n=0}^{\infty}{(\frac { z }{ -2 })^k}- \sum_{n=0}^{\infty}{z}^n) $$
$$ =\frac { 1 }{ 3 }*(\frac { -1 }{ 2 }\sum_{n=0}^{\infty}{(\frac { z }{ -2 })^k}- \sum_{n=0}^{\infty}{(-z)}^k) $$
$$ =\frac { 1 }{ 3 }*(\frac { -1 }{ 2 }\sum_{n=0}^{\infty}{(\frac { 1 }{ -2 })^k*z^k}- \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)}^k*z^k) $$
$$ =\frac { 1 }{ 3 }*(\sum_{n=0}^{\infty}{(\frac { 1 }{ -2 })^{k+1}*z^k}- \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)}^k*z^k) $$
$$ =\frac { 1 }{ 3 }*\sum_{n=0}^{\infty}{((\frac { 1 }{ -2 })^{k+1}-(-1)^k)*z^k} $$

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\(-\frac12\) falsch ausgeklammert in Zeile vier?
Ist \(n\) die Laufvariable oder \(k\)?

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