Question

Zeigen Sie, dass die Tangens-hyperbolicus-Funktion streng monoton wachsend ist und ℝ bijektiv auf das (offene) Intervall (−1; 1) abbildet.

Was lassen sich die Mathematiker denn noch einfallen? Ich bin mir nicht mal sicher, wie man die Funktion ausspricht, kann mir jemand helfen die Aufgabe zu lösen?

Aber wir dürfen den Zusammenhang zwischen Monotonie und Ableitung nicht benutzen. :(

Answer 1

tanh(x) = sinh(x) / cosh(x) =_Definition = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x)

mit e^x erweitern:

tanh(x) = (e^2x - 1) / (e^2x + 1)  =  1 - 2 / (e^2x + 1)

Der rote Bruch ist positiv und wird für wachsendes x immer kleiner

→  tanh(x) wird für wachsendes x immer größer 

→   tanh ist streng monoton wachsend

Der rote Bruch hat für x→∞ den Grenzwert 0 und für x→ -∞ den Grenzwert  2

→ Bildmenge von tanh = ] -1 ; 1 [

Gruß Wolfgang

Comments

Okay, die Bildmenge ist zwar  tanh = ] -1 ; 1 [, aber warum ist ℝ bijektiv? 

---

tanh (nicht ℝ!) ist injektiv (da streng monoton steigend) und bildet deshalb jedes Element von ℝ auf ein anderes Element der Bidmenge ]-1;1[ ab. Jedes Element von ]-1;1[ hat also ein anderes Urbild. Deshalb ist  tanh: ℝ → ] -1 ;1 [  auch surjektiv.

→ tanh: ℝ → ] -1 ;1 [  ist bijektiv

---

Ahhh, danke, jetzt verstehe ich das. :)