Alle Komplexen Zahlen bestimmen

Question

Folgende Aufgabe ist uns gegeben:

$${ z }^{ 3 }+27i+27=0$$

wir sollen alle Komplexen Zahlen bestimmen.

Kann mir jemand sagen wie ich richtig vorgehen soll ?

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Du sollst nicht alle komplexen Zahlen bestimmen, das wäre einfach die Menge C.

Deine Frage lautet vermutlich,

Bestimme alle Zahlen der komplexen Zahlenebene, für die gilt: z^3+27i+27=0

z^3+27i+27=0

z^3 = -27 - 27i

Dazu sollst du nun 3 Lösungen basteln.

Answer 1

Eine Idee waere, nicht gleich alle komplexen Zahlen zu bestimmen, sondern bloss die paar, die die gegebene Gleichung erfuellen. Diese Gleichung wiederum ist eine reine Gleichung dritten Grades $$z^3=a,$$ d.h. man kann sie durch Ausziehen der drei Kubikwurzeln $$\sqrt[3]{a}$$loesen.

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Das ist aber nicht der "Trick", den man beherrschen sollte!

Answer 2

$$ z^3+27i +27=0$$
$$ z^3=27(-1-i)$$
$$ z^3=27\cdot e^{i \frac 54 \pi}$$
dritte wurzel auf beiden seiten
$$ z=3\cdot e^{i \frac 5{12} \pi}$$
ist die Stammlösung - es gibt noch 2 weitere!

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ich hab das erstmal noch nicht verstanden:

woher kommt das (-1-i)

und das

$${ e }^{ i\frac { 5 }{ 4 } \pi  }$$

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Wenn 27i+27 von der einen auf die andere Seite der Gleichung gebracht werden , geschieht das durch beiseitige Subtraktion.

Die 27 können dann vorgeklammert werden, um einen hübschen komplexen Term zu bekommen.

Die Polarform dieses Terms ist das Zeuchs mit dem ehochifünfviertelpi.

Dazu müsste die Umwandlung Polar-Cartesisch und viceversa wohl gründlich wiederholt werden fürchte ich!

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Okay ich bin schon meinem Ziel näher gekommen:

jedoch muss ich fragen:

Jedoch muss ich noch einmal Fragen wie ist dieser Schritt $$(-1-i)\quad =>\quad { e }^{ i\frac { 5 }{ 4 } \pi  }$$ entstanden ?

Weil wenn ich$$cos\quad (\frac { 5 }{ 4 } \pi )\quad $$ und $$sin\quad (\frac { 5 }{ 4 } \pi )\quad $$dann habe ich jewals $$-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } $$Wie kommt man dan auf$$\frac { 5 }{ 4 }$$  ?

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$$ \arctan\left( \frac {-1}{-1}\right) = \frac 54 \pi$$

Der übliche TR wirft das nicht aus, sondern nur $$\frac{\pi}{4}$$
Höhere Programmiersprachen kennen den Operator " tan2 "
Der gibt beide Werte aus.
Idealerweise malt man sich mal einen Einheitskreis mit den gängisten Werten, die so hochkommen und den zugehörigen Umrechnungen ins cartesische System.

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-1-i liegt aber nicht auf dem Einheitskreis also musst du schon noch die Länge berücksichtigen bei der Umwandlung in Polarkoordinaten.

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Ahhh Faktor Wuzel2 !

Habe ich grade beinahe eingesaugt beim Büroputzen - muss ich wohl vorgestern unter den Tisch fallen gelassen haben !