Normalverteilung rückwärts rechnen mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit

Question

Welches Mindestgewicht muss man verlangen, damit die Wahrscheinlichkeit  den Preis zu bekommen 2% beträgt?

μ= 4

σ= 1,25

Die Lösung habe ich:

Sei u das Mindestgewicht, dann muss gelten

0,02= P (X ≥ u) = P ((X - 4)/1,25 ≥ (u - 4)/ 1,25 = 0,02

Laut Tabelle gilt Φ(2,06) = 0,9803, also muss gelten:

(u-4)/1,25 = 2,06, also u=6,575

Meine Frage ist, wie kommt man auf Φ(2,06)? Wieso ist es nicht Φ(2,05) oder Φ(2,07)? Wie ist der Rechenvorgang oder die Gedankenschritt dazu?

Comments

Hast du da mal die Wortgetreue Aufgabenstellung?

Answer 1

Hi,
sei \( F(u) = P\{ X \le u \} \) die Verteilungsfunktion, dann gilt \( P\{ X < u \} = 1 - F(u) \)
Für die Normalverteilung gilt \( F(u) = \Phi \left( \frac{u-\mu}{\sigma} \right) \) wobei \( \Phi \) die Standardnormalverteilung ist. Diese Werte sind tabelliert, z.B. hier.

https://de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilungstabelle

Jetzt soll ja gelten \( 1 - F(u) = 2\% \) also \( F(u) = \Phi \left( \frac{u-\mu}{\sigma} \right) = 98\% \)
In der Tabelle findest Du, dass \( \frac{u-\mu}{\sigma} \in (2.05 ; 2.06) \) gelten musst. Um genau zu sein müsste man noch zwischen den Werten interpolieren.

Du hast aber mit \( 2.06 \) weiter gerechnet. Also \( \frac{u-\mu}{\sigma} = 2.06 \) ergibt \( u = 2.06 \cdot \sigma + \mu = 6.575 \)