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Es ist zu zeigen, dass für alle n ∈ ℕ gilt:


a) 15 teilt (24n-1)

b) 729 teil (n² + 3n)*(n² - 1)*(n² - 4)


Ich habe es mit vollständiger Induktion versucht aber ich komme nicht weiter

EDIT(Lu): Gemeint war gemäss Kommentar:

a) 15 teilt 24n - 1

b) 720 teilt (n² + 3n)*(n² - 1)*(n² - 4)

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15 ist mit Sicherheit kein Teiler einer Zweierpotenz

Es scheint mir so, dass bei a) \( 2^{4n} - 1 \) gemeint ist.

es sollte eigentlich heißen:

a) 15 teilt 24n - 1

Dann steht einem Beweis ja jetzt nichts mehr im Weg :)

bei b) sollte es heißen: 720 teilt (n² + 3n)*(n² - 1)*(n² - 4)

4 Antworten

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a) Annahme: (2^{4n}-1)/15=k ; k∈ℕ

IDA: n=1 Aussage stimmt

IDS: (24(n+1)-1)/15=(2^{4n}*16-1)/15=(((k*15)+1)*16-1)/15=16k+1  ∈ ℕ

Avatar von

Okay, jetzt noch Aufgabe b) :)

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Hier mal ein Anfang für b)

720 teilt (n² + 3n)*(n² - 1)*(n² - 4)

720 = 2*360 = 2*2*2*90 = 2*2*2*2*45 = 2*2*2*2*3*3*5

 (n² + 3n)*(n² - 1)*(n² - 4) = n(n+3)(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)

=(n-2) (n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)

Das sind 6 aufeinanderfolgende Faktoren. 

Zwei davon sind durch 3 teilbar, 

drei sind durch 2 teilbar, und davon mindestens eine sogar durch 4. ==> 24 ist als Faktor im Resultat. 

mindestens einer davon ist durch ist durch 5 teilbar, 

Daher sind alle diese Zahlen (n² + 3n)*(n² - 1)*(n² - 4) durch 3^2 * 2^4 * 5 teilbar. 

Avatar von 162 k 🚀

du hast da einen kleinen Fehler:

720 = 2*360 = 2*2*180 = 2*2*2*90 = 2*2*2*2*45 = 2*2*2*2*3*15 = 2*2*2*2*3*3*5 = 24*32*5

ok. danke.

Ich ergänze die Zeile

drei sind durch 2 teilbar,

zu

drei sind durch 2 teilbar, und davon mindestens eine sogar durch 4. ==> 2^4 ist als Faktor im Resultat. 

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a)    15 ist mit Sicherheit kein Teiler einer Zweierpotenz

b)    für n=3 ergibt sich   " 729 teilt  720 "  , was natürlich falsch ist.

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

Ich bin immer noch der Meinung, dass das ein Kommentar sein sollte.

Hatten Sie bei der ursprünglichen Frage nicht bemerkt, dass sie falsch abgetippt worden war?

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a)


Aussage:


$$ {2}^{4n} - 1 $$ ist teilbar durch 15 für n >= 0. Zeige, dass gilt:


 $$ \frac{{2}^{4n} - 1}{15} = 1 $$ Für n = 1:


$$ \frac{{2}^{4\cdot1} - 1}{15} = 1 \\ 15 = 15\quad wahr$$


Prüfe für n+1:


$$  \frac {(2^{4(n+1)} - 1)}{15} = 1 \\ \frac {((2^{4n}\cdot 2^{4}) - 1)}{15} = 1 \\\frac {2^{4n}}{15}\cdot \frac{16}{15} - \frac{1}{15} = 1 \\ (2^{4n}\cdot16)-1 = 15 \\ 2^{4n} \cdot 16 = 16 $$


Damit ist die Aussage bewiesen.

Avatar von

In der drittletzten Zeile hat sich ein Fehler eingeschlichen: Die \( 15 \) dürfte nur einmal im Nenner des ersten Summanden auf der linken Seite vorkommen.

Warum darf ich annehmen, dass

$$ \frac { { 2 }^{ 4(n+1) }{ -1 } }{ 15 } \quad =\quad 1 $$ ?

müsste es nicht

$$ { (2 }^{ 4(n+1) }{ -1 })*k\quad =\quad 15\quad \forall k\epsilon Z $$

$$ \\ \frac { { (2 }^{ 4(n+1) }{ -1)*k } }{ 15 } \quad =\quad 1 $$

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