Halbkugel mit max. Zylinder (quer)

Question

Einer Halbkugel mit Radius R=1 soll ein Zylinder mit größtmöglichem Volumen einbeschrieben werden. Ermitteln Sie das Zylindervolumen.

Der Zylinder soll dabei quer liegen!

Answer 1

Hier ein Querschnitt:

~draw~ kreissektor(0|-5 10 0 180)#;polygon(-8|-5 -8|1 8|1 8|-5)#;text(-0.2|-5.5 "M");text(-0.2|1.4 "h");text(-8.5|-2 "d");text(-8.2|-5.5 "D");text(-8.2|1.4 "C");text(7.8|-5.5 "A");text(7.9|1.4 "B");zoom(10);aus ~draw~

Der Durchmesser des Zylinders ist d, die Höhe ist h. Das Volumen V des Zylinders ist dann

        V = π·(d/2)² · h = π·1/4·d² · h.

Das Dreieck ΔMAB ist rechtwinklig mit Hypotenuse R und Katheten h/2 und d. Pythagoras sagt dazu R²= (h/2)² + d², also d² = R² - (h/2)². Einsetzen in die Formel für das Volumen liefert

        V = π·1/4·(R² - (h/2)²) · h.

Wegen R = 1 ist

        V = π·1/4·(1 - (h/2)²) · h.

Das kann als Funktion

        V(h) = π·1/4·(1 - (h/2)²) · h.

ausgefasst werden, die in Abhängigkeit von h das Volumen des Zylinders mit Höhe h berechnet. Bestimme den Hochpunkt dieser Funktion.