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Unterschied zwischen Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz?

0 Daumen
21,532 Aufrufe
ich weiß immer noch nicht was der Unterschied zwischen Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz ist.

Bei Übungsaufgaben komme ich ganz durcheinander!

Könnt ihr mir ganz genau sagen, was man jetzt bei den drei machen darf und was nicht?

Danke :)
Gefragt 15 Okt 2012 von Gast hj2333

3 Antworten

+2 Daumen

Siehe Erklärungen in dem Video:


Zusätzlich kannst du dir die Lektionen anschauen:
- Mathe G02: Kommutativgesetz + Assoziativgesetz und
- Mathe G03: Distributivgesetz.


Hier noch mal eine grafische Darstellung, die dir helfen wird. Quelle Lektion G02: Kommutativgesetz + Assoziativgesetz.

Assoziativgesetz grafisch visuell

Assoziativgesetz → Klammern dürfen beliebig gesetzt werden bzw. du darfst selbst festlegen, was du als erstes zusammenrechnen möchtest!

 

Kommutativgesetz grafisch visuell

 

Kommutativgesetz der Multiplikation grafisch-visuell

Kommutativgesetz → Zahlen dürfen (bei der Addition oder bei der Multiplikation) vertauscht werden!

Beantwortet 17 Okt 2012 von Matheretter Experte V
Wenn man die Klammern beliebig einsetzen darf bei dem einen Gesetz und bei den anderen einfach die Zahlen vertauschen, dann kommt es doch auf das Gleiche raus, wo nun ist der Unterschied zwischen die beide?
Richtig, du darfst ein Gesetz anwenden und es kommt im Ergebnis das gleiche heraus. Genau darum geht es bei diesen Gesetzen:

3*5 = 15

5*3 = 15

Es spielt keine Rolle, ob 5 mal die 3 oder 3 mal die 5 gerechnet wird, bei beiden kommt letztlich 15 heraus. Genau das besagt das Kommutativgesetz.
ich meinte zwischen die zwei Gesetze Kommutativgesetz und Assoziativgesetz gibt es keinen Unterschied. Ob ich nun die Zahlen vertausche oder die Klammer gebrauche, es kommt das gleiche heraus. Oder gibt es etwas wo man sagen kann das man da das eine Gesetz nicht mit dem anderen vertauschen darf, wo das Ergebnis dann nicht passen würde?
"das eine Gesetz nicht mit dem anderen vertauschen darf"

Vielleicht musst du dir noch mal den Begriff "Gesetz" überlegen. Ein Rechengesetz ist eine Regel, die dir sagt, was du machen darfst. Es geht nicht darum, ob bei einem Beispiel für das Kommutativgesetz das gleiche Ergebnis herauskommt wie unter Anwendung des Assoziativgesetzes bei diesem Beispiel.

Das Assoziativgesetz macht übrigens nur Sinn, wenn wir mindestens 3 Elemente haben: Also bei 3 * 5 kannst du das Distributivgesetz anwenden, um umzustellen zu 5 * 3. Doch du kannst bei 3 * 5 nicht das Assoziativgesetz anwenden, da wir hier nur zwei Elemente haben.
Auch wenn die Diskussion nun schon drei Jahre alt ist, möchte ich noch gerne die Frage beantworten, die wohl Johanna ursprünglich gemeint hat.

Ich glaube anhand ihrer Kommentare verstanden zu haben, dass sie wissen möchte, ob es Beispiele gibt, bei denen zwar das Kommutativgesetz gilt, aber das Assoziativgesetz nicht oder umgekehrt. Man also anhand konkreter Beispiele zeigen kann, dass beide Rechengesetze als eigenständige Gesetze ihre Daseinsberechtigung haben. Um diese Frage zu beantworten, ist es notwendig die abstrakte Definition der beiden Gesetzen innerhalb algebraischer Strukturen zu verstehen. In diesen bedeutet ein Rechenoperator wie + oder * nicht zwangsläufig, dass zwei Zahlen miteinander addiert beziehungsweise multipliziert werden, sondern dass darunter auch eine Vielzahl anderer Operationen fallen können. Des Weiteren ist die Menge, in der die Operationen angewandt werden, nicht notwendigerweise der klassische Zahlenbereich (wie rationale Zahlen, reelle Zahlen etc.), sondern es könne auch Mengen darunter fallen, die unter Umständen nur wenige Elemente beinhalten. Nun gilt es noch zu zeigen, dass es einen solchen Operator, nennen wir ihn °, gibt, bei dem zwar dass Assoziativgesetz gilt, d. h. a ° b ° c = a ° (b ° c) = (a ° b) ° c, aber das Kommutativgesetz nicht, d. h. a ° b ≠ b ° a. Tatsächlich gibt es in der Mathematik viele solcher Fälle, konkret sind alle Gruppen, welche nicht zu den abelschen Gruppen gehören, Beispiele davon.
Leider ist die ganze Theorie sehr abstrakt, sodass es nicht ohne hohen Aufwand möglich ist, konkrete Beispiele dafür anschaulich darzustellen.

Anhand der Fragestellung kann ich dir versichern, dass der Fragesteller nicht wissen wird, was abelsche Gruppen sind. Lg Kai :)

+1 Punkt

Das sind drei unterschiedliche Gesetze. Welches welches ist, musst du dir eben merken.

 

Kommutativgesetz:

-für Addition: a + b = b + a

-für Multiplikation: a*b = b*a

Das heißt auch Vertauschungsgesetz.


Assoziativgesetz:

- für Addition: a + (b+c) = (a+b) + c = (a+c) + b

- für Multiplikation: a * (b*c) = (a*b)*c = b*(a*c)

 

Distributivgesetz: a*(b+c) = a*b + a*c

 

Beantwortet 15 Okt 2012 von Julian Mi Experte X

Noch als Ergänzung zum besseren Merken:

Kommutativgesetz → Zahlen vertauschen: 3 * 4 = 4 * 3 oder 12 + 5 = 5 + 12

Assoziativgesetz → Klammern beliebig setzen: 2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7)

Distributivgesetz → sog. Ausmultiplizieren 6*(1 + 2) = 6*1 + 6*2

Beim Kommutativgesetz kann ich doch auch die Zahlen vertauschen, für was sollen dann die Klammern gut sein bei Assoziativgesetz. Es kommt doch das gleiche raus. Bei beiden Gesetzen kann man die Zahlen beliebig vertauschen, oder? Ich checks immer noch nicht.
Beim Assoziativgesetz darf nur die Klammerung, also die Reihenfolge der einzelnen Rechenschritte geändert werden. Die Regel

(a+b) + c = (a+c) + b

darf man nur in Kombination mit dem Kommutativgesetz, aufstellen.

Also

(a+b) + c = a + (b+c)   / Assoziativgesetz

a + (b+c) = a + (c+b)   / Kommutativgesetz

a + (c+b) = (a+c) + b   / Assoziativgesetz

Und zum Schluß darf ich über die Transitivität der Gleichkeit (Wenn a=b und b=c dann auch a=c) sagen:

(a+b) + c = (a+c) + b

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