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Aufgabe:

Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen:

\( 3^{2 x-1}-11 \cdot 9^{x-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2 x} \)

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9x/3-11/81·9x=4x

9x·(27/81-11/81) = 4x

(9/4)x = 81/16

x = 2

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0 Daumen

Hi,
$$ 3^{2x-1} - 11 \cdot 9^{x-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2x} $$
$$ (1) \quad \left(\frac{1}{2}\right)^{-2x} = 2^{2x} $$
$$ (2) \quad 3^{2x-1} - 11 \cdot 9^{x-2} = 3^{2x}\cdot 3^{-1}- 11\cdot  3^{2x}3^{-4} = 3^{2x}(3^{-1}-11\cdot 3^{-4})  $$
Also aus (1) und (2)
$$ 3^{2x}(3^{-1}-11\cdot 3^{-4}) = 2^{2x}  $$ also
$$ \left(\frac{3}{2}\right)^{2x}=\frac{81}{16}=\left( \frac{3}{2} \right)^4  $$ also
$$ 2x = 4 $$ als $$ x=2  $$


Avatar von 39 k

Hallo warum kann man bei Schritt 1 deiner Rechnung sofort zu 2^{2x} vereinfachen?

Hi,

$$  \left( \frac{1}{2} \right)^{-2x} = \frac{1^{-2x}}{2^{-2x}}  = \frac{1}{2^{-2x}} = 2^{2x} $$

Ist das ein Potenzgesetz oder wieso darf ich nur die 1 im Zähler schreiben?

Nach den Rechenregeln für Potenzen kannst du sofort$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{-2x} = 2^{2x} $$schreiben.

\( a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} \)
\( \left(\frac{1}{2}\right)^{-2 x}=\frac{1}{\frac{1}{2}^{2 x}} \)

Ich verstehe das Gesetz nicht.

Hier nochmal zum besseren Verständnis:

\( \left(\frac{1}{2}\right)^{-2 x}=\frac{1^{-2 x}}{2^{-2 x}} \)
Das bleibt immer 1 unabhängig vom Exponenten.

\( =\frac{1}{2^{-2 x}} \)
\( =\left(2^{-2 x}\right)^{-1}=2^{2 x} \)

Vielen Dank

Wenn ich dich richtig verstehe, gilt dies nur wenn eine 1 im Zähler steht oder?!

Ja richtig.dadurch hast du sozusagen den Kehrwert des Kehrwerts. Des wegen kommt 22x mit positivem Exponenten raus

Vielen Dank, ich denke diese Erkenntnis wird mir bei weiteren Aufgaben sicherlich hilfreich sein!

Irgendwie komme ich nicht auf 81/16 sondern auf 16/81

Bild Mathematik

Du hast da einen entscheidenden Fehler gemacht. Wenn du durch 2^{2x} teilst, kommt da nicht 0 raus, sondern 1.

Bild Mathematik

Vielen Dank

Ich dachte, wenn ich  22x dividiere, dass auf der rechten Site dann null steht!!

Mit 1 auf der rechten Seite habe ich dann (3/2)2x *(16/81) = 1

und kann danach (16/81) dividieren und auf der rechten Seite kommt dann der Kehrwert als Resultat von 16/81 heraus!

Jepp die Rechnung habe ich nun gelöst und verstanden

Besten Dank

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