Kurvendiskussion für Funktion f(x) = (1/5)x^5 + x^4 + (4/3)x^3 im Intervall -3 ≤ x ≤ 1

Question

Führen Sie eine Kurvendiskussion von f durch und zeichnen Sie den Graphen über dem angegebenen Intervall.

\( f(x)=\frac{1}{5} x^{5}+x^{4}+\frac{4}{3} x^{3} ; \quad-3 \leq x \leq 1 \)

Answer 1

f(x) = 1/5·x^5 + x^4 + 4/3·x^3 ; -3 ≤ x ≤ 1

f'(x) = x^4 + 4·x^3 + 4·x^2

f''(x) = 4·x^3 + 12·x^2 + 8·x

Symmetrie

Keine untersuchte Symmetrie

Verhalten im Unendlichen

lim (x → - ∞) f(x) = - ∞

lim (x → ∞) f(x) = ∞

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 0

Nullstellen f(x) = 0

1/5·x^5 + x^4 + 4/3·x^3 = x^3·(1/5·x^2 + x + 4/3) = 0 → x = 0 (dreifach und damit Sattelpunkt)

Extrempunkte f'(x) = 0

x^4 + 4·x^3 + 4·x^2 = x^2·(x^2 + 4·x + 4) = 0 → x = -2 (doppelt) ∨ x = 0 (doppelt)

Da es beides doppelte Nullstellen sind gibt es keine lokalen Extrempunkte

f(-3) = -18/5 = -3.6 → Globales Minimum (-3 | -3.6)

f(1) = 38/15 = 2.533 → Globales Maximum (1 | 2.533)

Wendepunkte f''(x) = 0

4·x^3 + 12·x^2 + 8·x = 4·x·(x^2 + 3·x + 2) = 0 → x = -2 ∨ x = -1 ∨ x = 0

f(-2) = - 16/15 → Sattelpunkt (-2 | -1.067)

f(-1) = - 8/15 → Wendepunkt (-1 | -0.5333)

f(0) = 0 → Sattelpunkt (0 | 0)

Hinweis zum Nullstellen finden:

Du kannst ein x^3 ausklammern

1/5·x⁵ + x⁴ + 4/3·x³ = x³·(1/5·x² + x + 4/3) = 0

Dann verwendet man den Satz vom Nullprodukt und die abc-Formel, um Nullstellen auszurechnen.

Answer 2

Was ist schwierig an 7i? Die Nullstellen?

 f(x) = (1/5)x^5 + x^4 + (4/3)x^3    | x^3 ausklammern

=  x^3* ( (1/5)x^2 + x + (4/3)) 

Nun hast du bei x=0 eine dreifache Nullstelle. Und weisst schon mal, dass O(0|0) ein Terrassenpunkt von f ist.

Die weiteren Nullstellen von f findest du, indem du die quadratische Gleichung 

 (1/5)x^2 + x + (4/3)  = 0 löst. 

Comments

Wo genau kommst du denn nicht weiter? Kurvendiskussionen sind eher langweilig und man könnte sich vielleicht auf den Punkt, an dem es hakt, beschränken.

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Vielleicht hilft dir der Plot der Funktion (blau) und ihrer ersten Ableitung (rot) weiter:

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Ah super danke sehr:D eine unserem Mathe Lehrer wurde das Fach Mathe entzogen, weil er uns nicht aufs Abi vorbereitet hat und ja.. daher frage ich lieber aber es ist ecjt einfach danke sehr:)

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Achso und im Definitionsbereich gibt es keine Einschränkungen oder?

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Richtig. D = ℝ . 

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Cool danke es ist noch eine sehr kleine Frage offen nämlich wo ich das Null setze also (1/5)x^2+x+4/3=0 da weiß ich nicht was ich mit dem x in der Mitte machen soll, wäre das nicht da würde ich einfach die wurzel ziehen was soll ich dort machen?

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Heisst das jetzt, dass du keine Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen kennst? 

Dann geh ich mal über die binomischen Formeln: 

(1/5)x²+x+4/3=0   | *5

x^2 + 5x + 20/3 = 0    | quadratische Ergänzung

x^2 + 5x + 2.5^2 - 2.5^2 + 20/3 = 0

(x+2.5)^2 - 6.25 + 6.66666.... = 0

(x+2.5)^2 = 6.25 - 6.66666.... < 0  . Keine reelle Wurzel aus neg. Zahlen vorhanden. 

Keine weiteren Nullstellen. 

Schau hier https://www.matheretter.de/wiki/quadratischegleichung die Wissensbereiche an. Die meisten der Videos zum Thema sind leider nicht kostenlos. - Brauchst du hoffentlich auch nicht. 

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Ah okay also heißt es, wenn man keine wurzel aus den negativen zahlen ziehen kann gibt es nur die 1 Nullstelle also N(0|0) ? Ist das richtig so wie ich das habe? 

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Richtig. Sobald du unter der Wurzel etwas Negatives hast, kannst du reelle Lösungen der quadratischen Gleichung vergessen. 

x = 0 ist somit die einzige Nullstelle der Funktion f. 

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Okay super danke sehr und bei der Lokalen Extrema da habe ich auch noch eine Frage ob es richtig ist und auch ob man das so in der Arbeit hinschreiben könnte

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Gerechnet hast du richtig. 

Ich bin jetzt etwas "pingelig".

So sollte das aussehen:

Wenn die erste Ableitung eines Polynoms an einer Stelle eine doppelte Nullstelle hat, weiss man, dass man es an diesen Stellen mit Terrassenpunkten (Sattelpunkten) zu tun hat. Siehst du auch am blauen Graphen, den dir oben jemand eingestellt hat.

Das sind keine Extremstellen.

f hat keine lokalen Extremstellen. 

Anmerkung: x^2 + 4x + 4 wirst du mit etwas mehr Übung auf einen Blick als Binom erkennen. So kannst du dir die pq-Formel in diesem Fall sparen. 

x^2 + 4x + 1 = (x + 2)^2 = 0

(x+2)(x+2) = 0 ==> x = -2 ist eine doppelte Nullstelle der Ableitung. 

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Achsoo also kann ich es auch an dem hoch 2 erkennen dass es sich um eine doppelte Nullstelle handelt? Also x^2    x=0 , also doppelte Nullstelle und bei x^3 eine dreifache? Ps: aber der lehrer würde es als richtig ansehen wenn ich es so hinschreiben würde wie ich es hatte , oder? :P

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Ja. Mit den grünen Korrekturen im Bild sollte das die volle Punktzahl geben. Du musst unbedingt feststellen und begründen, dass es KEINE Extrempunkte sind. Entweder über die Vielfachheit der Nullstellen der 1. Ableitung oder einer sonstigen Rechnung. 
Weil der Graph der 1. Ableitung (rot oben) nicht unter die x-Achse kommt, kannst du erkennen, dass die Steigung der Kurve der Funktion (oben blau)  nirgends negativ ist. Bei einem lokalen Extremum muss es aber zwingend auf einer Seite rauf und auf der andern runter gehen. 

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Ich schätze deine Hilfe echt sehr , vorallem wo ich so viel frage :D , okay sehr gut eigentlich könnte ich ja dann x1=0 , x2=0, x3=-2 und x4=-2 hinschreiben und dann ausreichend belegen oder?

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PIch schätze deine Hilfe echt sehr , vorallem wo ich so viel frage :D , okay sehr gut eigentlich könnte ich ja dann x1=0 , x2=0, x3=-2 und x4=-2 hinschreiben und dann ausreichend belegen oder?

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Kann man so machen, wenn das im Unterricht behandelt wurde. Übrigens. Ich sehe gerade, dass du wahrscheinlich falsch einsetzt. Dein E(-2|0) liegt gar nicht auf der Kurve, sondern auf der 1. Ableitung.Du musst die STELLE x = -2 bei f und nicht f' einsetzen, um die y-Koordinate eines Punktes auf der Kurve (Terrassenpunkt) rauszubekommen. 

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Ach stimmt, habe das total verwechselt , da würde dann denke ich mal bei E2 (-2|-1,06) raus kommen:)

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 E2 (-2|-1,067) sollte das sein. 

Ist aber wie  besprochen kein E sondern ein T, bzw. W.

Also  W (-2|-1,067) 

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Achso, ok also entspricht der Terassen-/Sattelpunkt dem Wendepunkt? Weil habe hier noch seperat den Wendepunkt ausgerechnet

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Ich korrigiere noch die 1,06 auf die 1,067

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Ja. Dann sollte das dann stimmen und du bemerkst falsche Berechnungen, wenn du das Ganze zeichnest. 

Ein Extrempunkt eines Polynoms kann nicht gleichzeitig Wendepunkt sein. 

Anm. Mathecoach hat dir doch schon alle Resultate vorgegeben. Das kannst du auch als Kontrolle anschauen.