Definitionsbereich der Logarithmusaufgabe berechnen

Question

Ich habe gerade diese Aufgabe zum Logarithmus berechnet, muss nur noch den Definitionsbereich ausrechnen, scheitere aber irgendwie daran.

lg((2x+1):(2x-1))=lg2

Beim D muss man ja immer darauf achten, was hinter dem lg steht. Hier: ((2x+1):(2x-1))

Zuerst muss ich schauen, dass der Nenner nicht 0 wird und ich muss schauen, dass der ganze Ausdruck über 0 ist. Doch, wie stelle ich das bitte an?

Ich bin dankbar für jede Hilfe!!

Answer 1

Vorzeichen von   (2x+1):(2x-1) = ?

Unterteile die Zahlengerade durch die Nullstellen von Zähler und Nenner und stelle deren Vorzeichen in den offenen Intervallen datzwischen fest.  a/b > 0 wenn beide Vorzeichen übereinstimmen:

                - ∞                   - 1/2                   1/2                      ∞

2x+1                      -                        +                        +

2x-1                       -                        -                         +

Bruch                   +                        -                        +

→  D = ] - ∞ ; 1/2 [  ∪  ] 1/2 ; ∞ [   =  ℝ \ [ -1/2 ; 1/2 ]

Gruß Wolfgang

Comments

Ich verstehe nicht ganz, was du meinst.. Wie soll ich das nun rechnen? Warum schreibst du 1/2?

Das Vorzeichen ist +

!

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die Nullstelle des Zählers ist x=-1/2, die des Nenners x=1/2

im Intervall  ] - ∞ ; -1/2 [  ist das  Vorzeichen von Zähler und Nenner jeweils - , das Vorzeichen des Bruchs also +

.....   für die anderen intervalle

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Stimmt es auch, wenn ich zuerst (beim Nenner) 2x-1>0 rechne und anschließend (wieder beim Nenner) 2x-1<0 rechne? Und dann kommt 1/2<x<1/2  heraus. Ist es richtig, wenn ich dann den ganzen Bruch >0 rechne und dann den ganzen Bruch <0?  Muss ich nun die ganzen "Lösungen" zusammenbringen?

Vielen

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>  Ist es richtig, wenn ich dann den ganzen Bruch >0 rechne

Ja, aber dann brauchst du einige Fallunterscheidungen beim Lösen

>  und dann den ganzen Bruch <0?  

Nein, die Zahl im lg - also der Bruch - muss positiv sein, also > 0

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Und wenn ich ein Minus vor den beiden Ausdrücken des Bruchs schreibe anstatt den Bruch <0 ?  Geht das auch nicht? Und wenn ich Ihre Lösung nehme, muss ich dann einfach die Ausdrücke -1/2 und +1/2 vor den + und - Zeichen einsetzen. Da stimmt alles aber nur in der ersten Zeile überein..oder?

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Meine Tabelle gibt dir direkt an, in welchen Intervallen der Bruch im lg positiv ist. Genau das sind die Intervalle des Definitionsbereichs. Und damit bist du dann fertig.

Der Bruch ist in den Intervallen zwischen den Nullstellen von Zähler und Nenner positiv in denen diese das gleiche Vorzeichen haben.

Answer 2

PS: geht es um die Berechnung ?

Beide Seiten 10 hoch nehmen

(2x+1)/(2x-1)= 2

2x+1= 2 (2x-1)

2x+1= 4x-2

2x= 4x -3

-2x= -3

x=3/2

Answer 3

Es muss gelten:

(2x+1)/(2x-1)>0

Fallunterscheidung durchführen:

....

Comments

Was meinst du mit Fallunterscheidung? Danke für die Hilfe!

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Es gibt die Möglichkeit, dass ein Bruch grösser als 0 ist, wenn Zähler und Nenner grösser als 0 sind, oder wenn Zähler und Nenner kleiner als 0 sind.

In beiden Fällen könntest du x-Werte finden, die zum Definitionsbereich der linken Seite der Gleichung gehören.

Answer 4

Hier eine andere Möglichkeit, diese "Wann-ist-ein-Bruch-positiv?" - Ungleichung zu lösen: Es soll

$$ \frac { 2x+1 }{ 2x-1 } > 0 $$gelten. Wir beachten, dass bei dem Bruch auf der linken Seite der Nenner immer kleiner als der Zähler ist, also sicher

$$ 2x-1 < 2x+1 $$ gilt. Weiter nutzen wir aus, dass ein Bruch genau dann positiv ist, wenn Zähler und Nenner das gleiche Vorzeichen haben, so dass die ursprüngliche Ungleichung äquivalent ist zu den beiden Ungleichungen

$$ 2x-1 < 2x+1 < 0 \quad\text{oder}\quad 0 < 2x-1 < 2x+1 $$Dies lässt sich vereinfachen zu

$$ 2x+1 < 0 \quad\text{oder}\quad 0 < 2x-1 $$und zu

$$ x < -\frac12 \quad\text{oder}\quad +\frac12 < x $$auflösen.