Integralnorm beweisen

Question

|| f ||_1= ∫0 bis 1 | f(x) | d(x)

Ich weiß wie man eine Norm beweist mit den drei Eigenschaften aber das mit dem integral ist mir neu. Hier weiß ich nicht wie ich vorgehen soll.

Wenn mir das jemand zeigen könnte wäre super

Answer 1

Mit den Flächeninhaltsvorstellungen vom Integral ergeben sich die  Aussagen sofort.

Kurzfassung:

1)   ₀∫¹ | f(x) | dx  ≥ 0 ist wahr

2)   ₀∫¹ | f(x) | dx  = 0 ⇔ f ist die Nullfunktion     ist wahr

3)   ₀∫¹ | α • f(x) | dx = |α| •  ₀∫¹ | f(x) | dx   ist wahr.

4)   ₀∫¹ | f(x) + g(x)| dx  ≤   ₀∫¹ | f(x) | dx  +  i ₀∫¹ | g(x) | dx    ist wahr

Gruß Wolfgang

Comments

Bei dem ersten kannst du das Vielleicht etwas ausführlicher darstellen weil muss man denn die 0 und die 1 dort einsetzen, das ist mir noch nicht klar

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Da gibt es nichts auszurechnen. Die Integranden sind alle über [0 ; 1] positiv. Lies dir mal durch, was du über Integrale von solchen Funktionen und über Flächeninhalte gelernt hast.

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Ja wegen Betrag ist es positiv aber warum steht bei 4) eine i in der Gleichung ?? Stellst du eine komplexe Zahl dar 
Könntest du eine Bitte ausführlich aufschreiben damit ich weiß wie das Formel aussieht das wäre nett

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Man sollte noch dazu sagen, dass \(\|\cdot\|_1\) nur auf der Menge der stetigen Funktionen \(f:[0,1]\to\mathbb R\) eine Norm ist; auf dem Raum der riemann-integrierbaren Funktionen jedoch nicht, da hat man nur eine Halbnorm (sicherlich war die Stetigkeit von \(f\) eine Voraussetzung in der Aufgabe, die der Fragesteller hier weggelassen hat).

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Auf die notwendige Stetigkeit der Funktion hätte ich allerdings hinweisen sollen.

(Mit dem Rest ist der Fragesteller aber sicherlich total überfordert :-))