Was geschieht, wenn man alle Koordinaten der Eckpunkte einer Figur mit der gleichen Zahl multipliziert?

Question

Thema: Multiplizieren und Dividieren mit rationalen Zahlen / Koordinatengeometrie

Dass man mit Koordinaten rechnen kann, ist nichts Neues. Doch was geschieht, wenn man alle Koordinaten der Eckpunkte einer Figur mit der gleichen Zahl multipliziert?

Für das Dreieck ABC in der Abbildung haben wir schon mal angefangen:

A(-2|-3) → ·2 → A'(-4|-6)
B(1|-2) → ·2 → B'(__|__)
C(-4|3) → ·2 → C'(__|__)

~draw~ dreieck(-2|-3 1|-2 -4|3)#;zoom(4) ~draw~

Answer 1

Der Punkt A' wurde ausgerechnet indem die Koordinaten mit 2 multipliziert wurden. Mach das doch auch mal mit B und C und trage die drei Punkte A', B' und C' in das Koordinaten System ein und schau mal was du bekommst.

Comments

Es handelt sich hier um eine zentrische Streckung. So sieht es aus wenn du die Punkte einzeichnest.

Answer 2

B'(2|-4) C'(-8|6)
Jetzt nur noch einzeichnen.

Comments

> B'(2|-4)  C'(-8|6) muss es wohl heißen

---

Bei einer Multiplikation mit 2 verdoppelt sich der Flächeninhalt des Dreiecks.

Multipliziert man mit -1, bleibt der Flächeninhalt derselbe, aber die Ausrichtung des Dreiecks ändert sich.

Schau mal hier fener. Ein paar Punkte hab ich schon eingezeichnet. Damit kannst du ja mal rumexperimentieren ;)

https://www.matheretter.de/rechner/geozeichner?draw=punkt(-2%7C-3%20%22A%22)%0Apunkt(1%7C-2%20%22B%22)%0Apunkt(-4%7C3%20%22C%22)%0Apunkt(-4%7C-6%20%22A'%22)%0Apunkt(2%7C-4%20%22B'%22)%0Apunkt(-8%7C6%20%22C'%22)&scale=10

---

> Bei einer Multiplikation mit 2 verdoppelt sich der Flächeninhalt des Dreiecks.

Er vervierfacht sich (2²)

---

Oh ich wollte eigentlich schreiben, dass sich die Kantenlängen des Dreiecks verdoppeln. Die Fläche vervierfacht sich deswegen natürlich. Was würde ich nur ohne dich tun ;-) Danke Wolfgang

Answer 3

Zu a) Die Multiplikation aller Koordinaten mit 2 bewirkt eine zentrische Streckung mit dem Sreckzentrum (0/0). B'(2/-4), C'(-8/6). alle Seiten des Dreiecks werden doppelt so lang. Die Fläche des Dreiecks wird viermal so groß.
Zu b) Die Multiplikation aller Koordinaten mit - 1 bewirkt eine Doppelspiegelung an den Koordinatenachsen und folglich eine Drehung um 180° mit dem Drehzentrum (0/0) auch Punktspiegelung genannt. Alle Streckenlängen und der Flächeninhalt bleiben unverändert.

Answer 4

a)

du erhältst die neuen Punkte P' jeweils einfach, indem du die Länge der  Linie OP verdoppelst ( • 2)

So etwas nennt man eine "zentrische Streckung"  (Zentrum O)

b) Hier musst du jeweils auf der Geraden OP die Strecke OP von O aus in die andere Richtung (  Minuszeichen)  abtragen.

Es handelt sich um eine Punktspiegelung an O ( = Drehung um O um 180°)

Gruß Wolfgang