Question

Wie kann man die Monotonie der Folge cos(1/x)*(√k)/(k+1) bestimmen?

Korrektur 04.05.2016

Wie kann man die Monotonie der Folge cos(1/x) * √x / (x + 1) bestimmen?

Comments

Wie kann man die Monotonie der Folge cos(1/k)*(√k)/(k+1) bestimmen (k ∈ ℕ, k > 0)? 

cos(1/k) ist auf dem Intervall (0, 1] streng monoton wachsend.

(√k)/(k+1) ist für k > 0 monoton fallend.

Doch was bedeutet das für das Produkt der beiden?

Answer 1

Ist das richtig das hier ein x und ein k auftaucht ?

cos(1/x) sollte für x = 1, 2, 3, 4 streng monoton Steigend sein und den Grenzwert 1 haben.

√k/(k + 1) = 1/(√k + 1/√k) 

Kannst du zeigen das der Nenner immer größer wird? Dann ist der Term streng monoton Fallend.

√k + 1/√k

Subst z = √k

z + 1/z

(z + 1/z)' = 1 - 1/z^2 >= 0 und damit streng monoton wachsend für z > 0 und damit k > 0

Comments

Nein, das war ein Tippfehler. Eigentlich müsste statt dem x ein k stehen.

Ist es zulässig die Monotonie getrennt für cos(1/k) und √k/(k + 1) zu untersuchen?

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Nein. Wenn das alles ein x sein soll dann nicht. Du kannst das zwar auch getrennt machen aber monoton wachsend * monoton fallend erlaubt uns keine Aussage zu treffen.

Ableitung bilden und die Untersuchen erscheint mir hier aber fast etwas aufwendig. Vor allem weil wir ja eigentlich nur die Folge brauchen.

Man kannte ein paar Folgeglieder ausrechnen eine Vermutung aufstellen und die dann Beweisen. Das wäre das was ich machen würde.

Wie habt ihr sowas im Unterricht gemacht ?