Aufg. a) Du hast eine quadratische Gleichung
f ( z ) := z ² - p z + q = 0 ( 1a )
p = 6 ; q = 8 ( 1b )
Nein wir machen das nicht mit der Mitternachtsformel. Die Guidelines verlangen
" Formuliere deine Antwort stets so einfach wie möglich. "
Auch du sollst nicht dumm sterben; schau mal, was Pappi alles weiß.
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )
1) Der Versuch von Wiki jedoch, den SRN dem heiligen Carl Friedrich ( Gauß ) zuzuschreiben, stellt eine dreise Fälschung dar. Im Gegensatz zu dem üblichen Wikiniveau bei matematischen Beiträgen ermangelt der Aufsatz über den SRN mit seinen fehlenden Verweisen geradezu jeder Professionalität. Der Angelsachse sagt ganz typisch
" A moment's thought reveals. "
Man kommt doch sofort darauf, dass die SRN Aussage nur Sinn voll ist für ===> primitive Polynome ( ganzzahlig gekürzt ) In keinem Internetportal habe ich das gefunden; ein Lehrsatz, der ehrwürdige 200 Jahre auf dem Buckel hätte, wärew längst Wasser dicht abgeklopft.
Dass der Verfasser rein gar nichts schnallt, siehst du schon daran, dass er zu allem Überfluss noch gebrochene, d.h. nicht ganzzahlige Koeffizienten zulässt. Weißt du was ich glaube? Hier ist ein Kitschroman a la ===> Hans Dominik wahr geworden; der geniale Außenseiter, der die Hochschulmatematik mit seinen Entdeckungen beschämt. Dem Schema des Kitschromans folgend, fehlt dem Außenseiter aber auch jede Schulung ( Schau dir mal die Beweise von===> Ramanujan an )
Ich ergänze daher die DEFINITION ( normiertes Polynom )
" Ein Polynom heißt normiert, wenn seine primitive Form mit der Normalform überein stimmt. "
KOROLLAR zum SRN:
" Ein normiertes Polynom kann wenn überhaupt rationale, so nur ganzzahlige Wurzeln haben. "
2) Was du als Schüler noch nicht wissen kannst; die Literaturhinweise in Wiki verfangen nicht. Ernst zu nehmende Algebraliteratur sind alleine Artin und v.d. Waerden ( 1930 )
3) Gauß ist doch Kult; warum bloß hat dein Lehrer noch nie vom SRN gehört?
4) Rekapituliere nochmal, warum Wurzel ( 2 ) irrational ist ( kanonisch anerkannter Beweis, wie man euch das " in die Schul gelernt " hat ) Und jetzt zum Vergleich; warum hat sich die triviale, viel allgemeinere Einsicht über den SRN nicht längst durchgesetzt?
Einwand Nr. 5) werde ich auch noch bringen; doch machen wir erst mal fertig.
Wenn du auf ( 1ab ) den Satz von Vieta anwendest, bekommst du
q = z1 z2 = 8 ( 2 )
Die 8 hat zwei Zerlegungen, die triviale 8 = 1 * 8 so wie die nicht triviale 8 = 2 * 4 ; welche ist wohl die richtige? Und damit komme ich zu Einwand 5) ; dass sich weder Teilerfürst Gauß noch die auf ihn folgenden 200 Jahre gefragt haben sollten, was ggt z1;2 , halte ich für Absurd. Sei m ein Teiler; dann ergibt sich aus dem Satz von Vieta
m | z1;2 <===> m | p ; m ² | q ( 3a )
Ein m, das die rechte Seite von ( 3a ) erfüllt, möge K-Teiler des Polynoms f in ( 1a ) heißen - K wie Koeffizient. Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt; die Behauptung
ggt z1;2 = gkt ( f ) ( 3b )
In ( 1a ) siehst du sofort, dass gkt = 2 und damit 8 = 2 * 4 Doch da " Minus Mal Minus " auch Plus ergibt, verbleibt eine Zweideutigkeit im Vorzeichen. Diese lösen wir mit der cartesischen Vorzeichenregel ( CV ) auf
" Zwei Mal Plus "
0 < z1 < = z2 ( 4a )
z1 = 2 ^ x1 = 2 ===> x1 = 1 ( 4b )
z2 = 2 ^ x2 = 4 ===> x2 = 2 ( 4c )
Sind diese Bedingungen bereits hinreichend? Nein; denn wo steht, dass ( 1ab ) zerfällt?
" WENN ( 1ab ) zerfällt; WENN das Wörtchen ' Wenn ' nicht wär ... "
Es springt ja ins Auge, dass der Koeffizient p bisher überhaupt noch nicht berücksichtigt wurde; hinreichend ist stets der Satz von Vieta
p = z1 + z2 = 6 ( 5 ) ; ok
Aufg b)
3 / z + z = 4 | * HN ( 6a )
z ² - 4 z + 3 = 0 ( 6b )
Hättest du gkt , SRN und CV in der Schule kennen gelernt, hätte ich mich unter Ziffer a) kurz fassen können. Jetzt weißt du ja schon, worauf es ankommt. Da 3 eine Prinmzahl ist, gibt es überhaupt nur die triviale Zerlegung
z1 = 9 ^ x1 = 1 ===> x1 = 0 ( 7a )
z2 = 9 ^ x2 = 3 ===> x2 = 1/2 ( 7b )
