Exponentialgleichung lösen mit ln() und e^x

Question

Ich bräuchte bitte eine kurze Hilfestellung bei den folgenden Aufgaben:

3e^2x − 2e^x = 1

ln(2x + 1) − 3 = ln(x + 5) 

Bei der ersten Aufgabe habe ich e^x=u und e^2x=u²  gesetzt und dann 3u²-2u-1=0 in abc-Formel eingesetzt. Ergebnis x₁=6 und x₂=-2. Ist das korrekt gibt es hier noch einen anderen Weg durch logarithmieren z.B.?

Bei der zweiten Aufgabe komm ich nicht weiter. Mein Ansatz war folgender:

ln(2x+1)-3=ln(x+5) |+3

ln(2x+1)=ln(x+5)+3 |e^...

e^ln(2x+1)=e^ln(x+5)+e³

2x+1=x+5+e³ 

x=4+e³

Aber wenn ich jetzt die Probe mache und x in die Gleichung oben einsetze ist die linke Seite ungleich der Rechten sprich die Gleichung wird ungleich. 

Answer 1

3e^2x − 2e^x = 1 ,  u = e^x

3u²-2u-1=0   ergibt  u₁ = 1  und u₂ = -1/3

also e^x = 1  oder e^x = -1/3. Letzeres entfällt, weil e^x >0 in ℝ

e^x = 1  →_ln   x = ln(1) = 0

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ln(2x+1)-3=ln(x+5) |+3

ln(2x+1)=ln(x+5)+3 |e^...

e^ln(2x+1)=e^ln(x+5)+e3      e^ln(x+5)+3 

e^ln(2x+1) = e^ln(x+5) • e³ 

2x+1 = (x+5) • e³ 

2x+1 = e³ • x + 5 • e³ 

2x - e³ • x = 5 • e³ - 1

x • (2 - e³) = 5 • e³ - 1

x = (5 • e³ - 1) /  (2 - e³)  ≈ -5.497635211

Gruß Wolfgang