Nutzenfunktion: U(A,B)=3A^{2}+6AB+10B

Question

U(A,B)=3A^{2}+6AB+10B

Produkt A kostet 3 Euro pro Einheit. Produkt B ist schon für 1 Euro pro Einheit zu haben. Udo hat ein Budget von 100 Euro. Wie viele Einheiten der beiden Produkte wird Udo konsumieren, wenn er seinen Nutzen maximiert?

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Nutzenfunktion lautet: U(A,B) = 3A^{2} + 6AB + 10B

Wenn Produkt A 3 Euro pro Einheit und Produkt B 1 Euro pro Eineit kostet, wieviele einheiten kann man von den Produkten konsumieren wenn man ein Budget von 100 euro hat?

Answer 1

Hier eine gerade selbstentwickelte Lösung

U(A,B)=3 * A^2 + 6AB +10*B

anz_a : Anzahl Produkt A
U ( A,B ) = anz_a * ( 3 * A^2 ) + anz_a * (6AB ) +10*B

anz_b : Anzahl Produkt B
U ( A,B ) = anz_a * ( 3 * A^2 ) + anz_a * anz_b * (6AB ) +anz_b * (10*B)

A = 3
B = 1
U ( A,B ) = anz_a * ( 3 * 3^2  ) + anz_a * anz_b * (6*3*1 ) +anz_b * (10*1)
U ( anz_a,anz_b ) = 27 * anz_a  + anz_a * anz_b * 18 +anz_b *10
U ( anz_a,anz_b ) = 27 * anz_a  + 18 * anz_a * anz_b + 10 * anz_b

anz_a * A + anz_b * B = 100
3 * anz_a + anz_b = 100
anz_b = 100 - 3 * anz_a

U ( anz_a ) = 27 * anz_a  + 18 * anz_a * anz_b + 10 * anz_b
U ( anz_a ) = 27 * anz_a  + 18 * anz_a * ( 100 - 3 * anz_a ) + 10 * ( 100 - 3 * anz_a )
U ´ ( anz_a ) = 1797 - anz_a * 108

Maximum
1797 - anz_a * 108 = 0

anz_a = 16.6
anz_b = 50.2

U = 15950

Kann ich gern erklären falls es stimmt ( oder nicht ).

Comments

Ich weiß leider nicht ob das richtig ist aber kannst es mir trotzdem gerne erklären :D :)

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Hoffentlich läßt Oswald auch etwas von sich hören und zeigt sein
Ergebnis an. Grins. Ist freundlich gemeint.

U(A,B)=3 * A² + 6AB +10*B

Diese Formel zeigt den Nutzen abhängig vom Preis A und B. Für
A = 3
B = 1

Nutzen ( 3,1 )  = 55

Nun kann Udo beliebige Mengen von Produkt A und von Produkt B
erwerben.

zunächst
U(A,B)=3 * A² + 6AB +10*B

nehmen wir an Udo nimmt 2 Einheiten von Produkt A
dann müßte sich sein Nutzen von
3 *A^2
verdoppeln auf
2 * 3 * A^2

und
6AB auf 2 * 6AB

Wie oben
anz_a : Anzahl Produkt A
U ( A,B ) = anz_a * ( 3 * A² ) + anz_a * (6AB ) +10*B

dasselbe für B
anz_b : Anzahl Produkt B
U ( A,B ) = anz_a * ( 3 * A² ) + anz_a * anz_b * (6AB ) +anz_b * (10*B)

So.Ich hoffe diese Überlegung stimmt.

Dann geht es mathematisch weiter wie oben.

Bin auf deine Reaktion und auf weitere Fragen gespannt.

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Hallo anisa,

U(A,B)=3 * A² + 6AB +10*B

Produkt A kostet 3 Euro pro Einheit. Produkt B ist schon für 1 Euro
pro Einheit zu haben. Udo hat ein Budget von 100 Euro. Wie viele
Einheiten der beiden Produkte wird Udo konsumieren,
wenn er seinen Nutzen maximiert?

Die Aufgabe war für mich mißverständlich formuliert.

Ich habe verstanden : A und B sind Preise welche auf dem Markt
variabel sind. Diese Preise eingesetzt in obige Formel ergeben
wieder einen Nutzen-Betrag.

Ich schrieb
Diese Formel zeigt den Nutzen abhängig vom Preis A und B. Für
A = 3
B = 1
Nutzen ( 3,1 )  = 55

Sehr wahrscheinlich ist aber gemeint
A = Mengen-Einheiten des Produkts A
B = Mengen-Einheiten des Produkts B

U(A,B) = 3*A² + 6*A*B + 10*B
und  3*A + B ≤ 100

B = 100 - 3A
und in U eingesetzt.
Dann ableiten nach A
Extremwert : zu null setzen
und A berechnen
A = 19
und
B = 43
ergibt
U ( 19,43 ) = 6415.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

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Also wird er 19 einheiten von Produkt A konsumieren und 43 von B ?

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So ist es. Fülltext.

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Kannst du mir villt deine rechnungen dazu zeigen ? :/

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Mein Matheprogramm Schritt für Schritt

blau
die Ausgangsformel
Zusammenhang A und B
B = ...
B in die Ausgangsformel eingesetzt
1,Ableitung Ausgangsformel nach A
1.Ableitung zu 0 und A berechnet
Werte für B und U

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Was ist das für ein Matheprogramm

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Mupad.
Ein Matheprogramm kann schon einige Menge Arbeit
abnehmen.
Man muß natürlich wissen was man tut.

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Hab da noch mal eine Frage wieso rechnet er da +1000

bei mir kommt für x = 16 raus .. kannst du mir villt sagen wo der fehler ist ?

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Multipliziere doch mal aus

U(a) = 3·a^2 + 6·a·(100 - 3·a) + 10·(100 - 3·a)

Answer 2

1. Partielle Ableitungen gleich Null setzen
   
2. Gleichungsystem lösen
3. Lösungen in Hesse-Matrix einsetzen
4. Prüfen ob Hesse-Matrix negativ definit ist.
   

Comments

Danke kannst du mal bei den Antworten schauen, ob die rechnung von georgborn richtig ist?

Answer 3

Mit der Nutzenfunktion  U(A,B) = 3*A^2 + 6*A*B + 10*B

und der Nebenbedingung 3*A + B ≤ 100

komme ich auf:

U(20,40) = 6400

Zum Vergleich:

U(16.6,50.2) = 6328.6

(Bei jeweils voller Budgetausschöpfung)

Rechenfehler nicht ausgeschlossen!

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Hallo az0815,

bei deinen Annahmen kommt mein Matheprogramm auf
U (  19, 43 ) = 6415

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Ja, bei diesem Konsum erreicht Udo den maximalen Nutzen.

Answer 4

Das Ergebnis des Nutzenmaximums bei (a, b) = (19, 43) ist richtig wie man leicht mit Wolframalpha prüfen kann.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Maximize%5B%7B3+a%5E2+%2B+6+a+b+%2B+10+b,+3+a+%2B+b+%3D%3D+100%7D,+%7Ba,+b%7D%5D

3·a + b = 100 --> b = 100 - 3·a

U = 3·a^2 + 6·a·b + 10·b

U = 3·a^2 + 6·a·(100 - 3·a) + 10·(100 - 3·a)

U = - 15·a^2 + 570·a + 1000

U' = 570 - 30·a = 0 --> a = 19

b = 100 - 3·19 = 43

Comments

Wie kommt man auf die 570?

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Du solltest mal den folgenden Term auspultiplizieren und zusammenfassen:

U = 3·a² + 6·a·(100 - 3·a) + 10·(100 - 3·a) 

U = 3·a² + 600·a - 18·a^2 + 1000 - 30·a

U = - 15·a² + 570·a + 1000

Ist das so klar? Wenn nicht frag ruhig nochmals nach.

Oder meinst du die Ableitung

U' = - 30·a + 570 

Ich denke die sollte aber klar sein oder nicht?