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ich würde gerne wissen, wie man per vollständiger Induktion die n-te Ableitung einer Funktion bildet. Kann mir das vielleicht jemand an folgender Funktion :f(x) = Wurzel (1+x) für alle n ∈ N0 zeigen?

Das wäre eine große Hilfe.


Grüße

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Hi,
wenn man die Funktion \( f(x) = \sqrt{1+x} \) ein paarmal ableitet, kommt man auf folgenden Ausdruck
$$ \frac{d^n}{dx^n}f(x)=\frac{(-1)^{n-1}}{2^n} \cdot \prod_{i=1}^{n-1}(2i-1) \cdot (1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}  $$

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Könntest du vielleicht Schrittweise zeigen, wie du darauf gekommen bist und inwiefern du die vollständige Induktion benutzt hast?

Ich habe ein paar Ableitungen gebildet und dann verallgemeinert. Vollständige Induktion habe ich nicht benutzt.

Achso, wie würde denn eine vollständige Induktion bei der Aufgabe aussehen? 

Und noch eine Sache: Man könnte die allgemeine Ableitung doch auch folgendermaßen definieren:

fn(x) = (((-1)n-1)/2n)* (1+x)((2n-1)/2), oder?

Hierbei steht n für den Grad der Ableitung

Also da stimmt was nicht in Deiner Formel. Aber ich habe bei mir auch einen Fehler gesehen und den korrigiert. Meine Ableitung bezog sich auf \( \sqrt{x} \) und nicht auf \( \sqrt{1+x} \)


Aber Deine Formel kannst Du ja nach prüfen.Für \( n = 1 \) würde folgen \( f'(x) = \frac{1}{2} \sqrt{1+x} \) was ja falsch ist.

Oh ich meinte natürlich fn(x) = (((-1)n-1)/2n)* (1+x)-((2n-1)/2). So würde es doch gehen, oder?

Berechne mal die dritte Ableitung nach Deiner Formel, dann kommt

$$  f'''(x) = \frac{1}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}}  $$ heraus. Richtig ist aber

$$ f'''(x) = \frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}} $$

Ok stimmt, du hast recht. Fehlt jetzt nur noch die vollständige Induktion. Da muss ich ja beweisen, dass [fn(x)]' = fn+1(x). Könntest du mir dabei vielleicht die Umformungschritte zeigen, wie man darauf kann?

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