Gemeinsame Schnittpunkte bestimmen: f(x) = 2x² + 3x + 4; g(x) = x² + 4x + 10

Question

f(x) = 2x² + 3x + 4
g(x) = x² + 4x + 10
f(x) = g(x)
2x² + 3x + 4 = x² + 4x + 10

----------------------------------- <<< alles über dieser Trennlinie verstehe ich noch also ich kann es mir selbst verständlich machen aber alles dadrunter verstehe ich nicht weil ich nicht weiß wie der Helfer auf die Lösung gekommen ist  ich bin persönlich soweit gekommen das er die 4x hinter dem = (die letzte reihe über den trennlinie die 1 unter der trennlinie beschreibe ich ) auf die linke seite gezogen hat dadurch wurd es ein minus also 3x-4x sind -1x die 1 muss man nicht schreiben also -x die -6 weil er die +10 hinter dem= links rübergezogen hat und dadurch hat er +4-10 gerechnet also -6 nur weiter komme ich leider nicht :( bitte um Hilfe
x² - x - 6 = 0
x = 3 ∨ x = -2
g(3) = 31
g(-2) = 6
Schnittpunkte sind (3,31) und (-2,6).

Answer 1

Hi,

Du willst offensichtlich die gemeinsamen Schnittpunkte finden. Setze also die beiden Funktionen gleich, denn die x-Werte müssen ja übereinstimmen.

2x² + 3x + 4 = x² + 4x + 10

 

Nun löse nach x auf:

2x² + 3x + 4 = x² + 4x + 10   |-x^2-4x-10

x^2-x-6 = 0

Mit der pq-Formel gehts weiter:

x₁=3 und x₂=-2

 

Wir wissen nun also an welcher "Stelle" wir die Schnittstellen haben. Die Schnittpunkte sind aber noch zu bestimmen. Hierfür nimm Deine Stellen und setze sie in eine der beiden Funktionen ein (ist ja egal welche, da beide die gleichen sind).

Das ist wohl g(3)=31 und g(-2)=6

 

Die Schnittpunkte sind also bei S₁(3|31) und S₂(-2|6).

 

Alles klar?

 

Grüße

Answer 2

Wenn man eine Gleichung wie 

2x^2 + 3x + 4 = x^2 + 4x + 10 

hat, muss man auf beiden Seiten das Gleiche machen, um das Gleichgewicht nicht zu zerstören. 

Damit wir später die

p-q-Formel

anwenden können, wollen wir auf der rechten Seite der Gleichung 0 stehen haben.

Also ziehen wir auf beiden Seiten x^2 ab und erhalten:

x^2 + 3x + 4 = 4x + 10

Jetzt ziehen wir auf beiden Seiten 4x ab:

x^2 - x + 4 = 10

Und jetzt noch die 10 abziehen:

x^2 - x - 6 = 0

Jetzt können wir die p-q-Formel anwenden, um das x zu bestimmen.

Sie lautet x1/x2 = -p/2 ± Wurzel aus [ (p/2)^2 - q ]

Also ist x1 = 0,5 + Wurzel aus (0,25 + 6) = 0,5 + 2,5 = 3

und

x2 = 0,5 - Wurzel aus (o,25 + 6) = 0,5 - 2,5 = -2

 

Diese x-Werte müssen wir jetzt noch in eine der Gleichungen (oder in beide) einsetzen, um den Schnittpunkt zu 

bestimmen:

f(3) = 18 + 9 + 4 = 31

g(3) = 9 + 12 + 10 = 31

Also ist der erste Schnittpunkt (3|31)

Jetzt setzen wir x2 ein: 

f(-2) = 8 - 6 + 4 = 6

g(-2) = 4 - 8 + 10 = 6

 

Alles klar?