0 Daumen
366 Aufrufe

an= ∑nk=1  (2kn+2n2+k)/(2k+1n2+2kk)


Ich soll die Folge auf Konvergenz und Grenzwert untersuchen.

Ich abe es bereits mit dem Intervallschachtelungssatz versucht, aber ohne Erfolg

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Hi,
die Folge kann man umschreiben in $$ a_n = \sum_{k=1}^n \frac{2^k n + 2 n^2 + k}{2^{k+1} n^2 + 2^k k } = \sum_{k=1}^n \left[ \frac{1}{2n + \frac{k}{n}} +\left( \frac{1}{2} \right)^k \right] = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2n + \frac{k}{n}} + \sum_{k=1}^n\left( \frac{1}{2} \right)^k $$
Für die erste Summe gilt
$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{2n + \frac{k}{n}} \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{2n + \frac{1}{n}} = \frac{n^2}{2n^2+1} = \frac{1}{2+\frac{1}{n^2}} \rightarrow \frac{1}{2} $$
Die zweite Summe ist eine geometrische Reihe die gegen \( 1 \) konvergiert, also konvergiert auch \( a_n  \)

Avatar von 39 k

Das hilft mir sehr.  Vielen lieben Dank!

Wie kamst du denn auf diese Umformung also was hast du gemacht damit du auf dieses 1/(2n + k/n) + (1/2)^k kamst?

Klammere im Nenner \( 2^k \) aus und zerlege den Bruch in $$ \frac{2^k n + 2 n^2 + k }{  2^k (2 n^2 + k)}   =  \frac{2^k n  }{  2^k (2 n^2 + k)} + \frac{2 n^2 + k }{  2^k (2 n^2 + k)}  $$ dann noch etwas rumrechnen und Du hast es.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community