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Ungleichung mit mehreren Beträgen

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Hallo!

Ich lerne gerade Mathestoff aus der Schule nach und stoße auf folgendes Problem, bei dem sich mir noch Verständnisprobleme ergeben und ich mir auch gar nicht sicher bin, ob ich richtig vorgehe:

Ungleichung mit Variablen
\frac { |x-3| }{ |x+5| } \le \frac { |x-2| }{ |x+4| }

Allgemein habe ich angefangen die Definitionsmenge zu bestimmen mit D=R\{-5, -4, 2, 3}, da die Nenner nicht 0 werden dürfen und im Prinzip jeder Betrag im Nenner stehen könnte nach entsprechendem Umformen.

Soweit ich es verstanden habe, sollte ich nun Fallunterscheidungen für jeden Betrag machen, wann der Inhalt einen positiven oder negativen Wert annimmt..

1)  x >  3 oder x < 3

2)  x > 2 oder x < 2

3) x > -5 oder x < -5

4) x > -4 oder x < -4

 

Hier hat sich mir nun die Frage gestellt, wie ich nun diese Fallunterscheidungen verknüpfen soll. Wenn ich die äußeren Extreme hernehme ( x > 3 bzw x < -5) ergeben die Inhalte der Beträge (nicht der Betrag selbst) im 1. Fall positive Werte bzw im 2. Fall negative Werte.

Wenn ich jetzt aber zB x > 2 hernehme ist im Intervall (2,3) der Inhalt des Betrages | x - 3 | negativ, während von (3,unendlich) der Inhalt des Betrags positiv wird. Muss man für all diese extra Fälle eigene Fallunterscheidungen machen, oder übersehe ich nur etwas anderes?

 

Ein weiteres Verständnisproblem ergibt sich bei der Auflösung einer Fallunterscheidung für mich:

Wenn ich annehme dass zB x > 3 ist, muss ich - soweit ich es verstanden habe - jeden Betrag auflösen und mit Klammern ersetzen und zusätzlich entweder ein + oder - vor die Klammer setzen, je nachdem, welches Ergebnis der Inhalt des Betrages gehabt hätte.

Ungleichung für x
bei \quad x\quad >\quad 3\quad :\\ |x-3||x+4|\le |x-2||x+5|\\ (x-3)(x+4)\le (x-2)(x+5)

oder zB bei 

Auflösung der Ungleichung
bei \quad x\quad <\quad -5\quad :\\ |x-3||x+4|\le |x-2||x+5|\\ (-x+3)(-x-4)\le (-x+2)(-x+5)


Wenn ich jetzt das erste Beispiel auflöse:

Auflösung Ungleichung für weiteres x
bei \quad x\quad >\quad 3\quad :\\ |x-3||x+4|\le |x-2||x+5|\\ (x-3)(x+4)\le (x-2)(x+5)\\ x²+4x-3x-12\le x²+5x-2x-10\\ x-12\le 3x-10\\ -2x\le 2\\ x\ge -1


komme ich  darauf, dass x größer gleich -1 sein soll. Vermutlich habe ich irgendwo einen groben Fehler oder deute nur das Ergebnis falsch, aber wenn ich alleine für x = 0 einen Test mache erhalte ich 3/5 <= 2/4 = 1/2 was unmöglich eine wahre Aussage für die Ungleichung mit den Beträgen sein kann. Auf das selbe Ergebnis komme ich auch bei x < -5.

Wie muss man die Ergebnise interpretieren? Mach ich etwas grundlegend falsch?

Ich hoffe wirklich, mir kann hier jemand ein paar Ratschläge geben.

Vielen Dank :)

Gefragt 20 Okt 2012 von Aryon

Hi Aryon, bitte bei der nächsten Frage den Formeleditor benutzen. TeX direkt hineinkopieren, Formel als Bild speichern und in die Frage hochladen. Danke :)

1 Antwort

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Ich mach das mal ganz systematisch. Du hast zwar schon ziemlich viel richtig gemacht, aber es hilft vermutlich mehr, wenn ich von ganz vorne anfange.

 

Richtig, erstmal musst du den Definitionsbereich so einteilen, dass aus den Beträgen Klammern werden.

Man macht das am besten so, dass man den Definitionsbereich in Intervalle einteilt, da man die relativ leicht untersuchen kann:

Das erste Intervall ist I1 = ]-∞, -5[ da sich darin insgesamt an den Beträgen nichts tut.

Das zweite Intervall ist I2 = ]-5, -4[, dann folgen

I3 = ]-4, 2[

I4 = ]2, 3[

I5 = ]3, ∞[

 

Jetzt nimmst du dir jeweils ein Intervall her, wertest dafür die Beträge aus und stellst die Gleichung nach x um. Daraus erhälst du dann eine zusätzliche Bedingung für das x auf diesem Intervall.

Im ersten Intervall z.B.:

Hier sind alle Beträge negativ, also müssen überall die Vorzeichen umgedreht werden, das hast du ja bereits richtig gemacht.

Die Anmerkung habe ich dazu geschrieben, damit klar ist, warum ich das Vergleichszeichen nicht umgedreht habe.

So, wir haben jetzt also eine zusätzliche Anforderung:
Wenn x im Intervall I1 liegt, muss außerdem x ≥ -1 gelten - da aber alle Elemente in I1 kleiner als -5 sind, gibt es auf diesem Intervall keine Lösung!

Als nächstes überprüfen wir das zweite Intervall:

Hier bekommen alle Beträge außer |x+5| ein Minus:

Quadratische Ungleichungen sind immer ein bisschen schwer zu lösen, weil man beim Wurzelziehen das Vergleichszeichen für eine Lösung umdrehen muss und für die andere nicht.

Deshalb löse ich das hier mal mit quadratischer Ergänzung:

Im letzten Schritt habe ich die dritte binomische Formel benutzt.

Die Gleichung ist jetzt genau dann richtig, wenn nur eine der beiden Klammern kleiner ist als 0. Sobald beide kleiner sind als 0, wird das Produkt wieder größer als 0.

Das heißt:

x + 1 - √12 ≤ 0

x ≤ -1+√12

und gleichzeitig

x + 1 + √12 ≥ 0

x ≥ -1-√12

Das bedeutet x∈[-1-√12, -1+√12]

ODER

 

x + 1 + √12 ≤0

x ≤ -1 - √12

und gleichzeitig

x +1 - √12 ≥ 0

x ≥-1+√12

Das kann logischerweise nicht erfüllt sein.

 

Rechnet man die Zahlen mal ungefähr aus, dann erhält man:

-1 - √12 ≈ -4.47

-1+ √12 ≈ 2.46

Das ergibt uns diesmal tatsächlich einen Bereich, der die Ungleichung löst, nämlich die Schnittmenge aus [-4.46, 2.46] und ]-5, -4[

Das ist die Menge [-4.46, -4[.

Auf dieser Menge ist die Ungleichung erfüllt.

 

Das ganze musst du jetzt für die anderen Bereiche weiter durchexerzieren, ich denke mehr Sonderfälle als in diesen beiden Situationen können eigentlich nicht auftauchen.

 

Beantwortet 20 Okt 2012 von Julian Mi Experte X

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