Funktionen - senkrechte Asymptoten

Question

http://www.mathebibel.de/senkrechte-asymptote

Seht euch bitte das erste Beispiel "senkrechte Asymptote an". Die Frage meines Lehrers: Wieso hat eine solche Funktion vertikale Asymptoten?

Answer 1

Eine gebrochen-rationale Funktion hat solche senkrechten Asymptoten bei Definitionslücken:

Beispiel:

Wir haben die Funktion:  (x+5)/(x-1)

Bei x=1 wird der Nenner 0-> die Funktion ist an dieser Stelle undefiniert. Sie hat also für x= 1 keinen zugehörigen Funktionswert.

Eine Asymptote ist per Definition nun eine Funktion, die sich einer anderen Funktion im Unendlichen annähert.

Die senkrechte Asymptote nähert sich dem Graph an den Stellen rund um die Definitionslücke an.

~plot~ (x+5)/(x-1);x=1;[[ -4 | 8 | -30 | 30 ]] ~plot~

Answer 2

Gebrochenrationale Funktionen f(x) = z(x) / n(x) haben senkrechte Asymptoten wenn es ein Wert a für x gibt so dass der Nenner gleich Null ist n(a) = 0 während der Zähler ungleich Null ist z(a) ≠ 0.

Nähert sich x dann diesem a unendlich dicht teilt man einen Wert durch etwas unendlich kleines und bekommt so etwas unendlich großes.

Man nennt a dann auch Polstelle der Funktion.

Answer 3

f ( x ) = 1 / ( x - 1 )

für x = 1 ( Nenner wird 0 ) nicht definiert

nähert sich x von rechts dieser Stelle ergibt sich
x = 1.1  => 1 / ( 1.1 - 1 ) = 1 / 0.1 = 10
x = 1.01  => 100
x = 1.001 => 1000
x ist einen kleinen Tick größer 1
lim x −> 1 (+)  1 /  0(+) = + ∞

nähert sich x von links dieser Stelle ergibt sich
x = 0.9  => 1 / ( 0.9 - 1 ) = 1 / -0.1 = -10
x = 0.99  => -100
x = 0.999 => -1000
x ist einen kleinen Tick kleiner 1
lim x −> 1 (-)  1 /  0(-) = - ∞

Auf der linken Seite geht die Funktion für x = 1 gegen -∞
Auf der rechten Seite geht die Funktion für x = 1 gegen +∞

~plot~ 1 / ( x -1 ) ~plot~