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Ich komme mit der Aufgabe nicht weiter, Ist mein Ansatz richtig?

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Du sollst zeigen, dass f stetig ist für alle reellen Zahlen OHNE -1 und 1.

Daher brauchst du |x| = 1 nicht zu betrachten.

Mache eine Fallunterscheidung.

1. Fall: |x| < 1

2. Fall: |x| > 1.

Was soll denn da eingesetzt werden, z.B 0,5 und 2?

Wann ist es dann stetig?

< -------|-------------------|----------- >
          -1                        1

Du hast 3 Bereiche und sollst bei 1. nachweisen
das die Funktion im jeweiligen Bereich stetig ist
] -∞ -- -1 [    f ( x ) = ( 1 - x ) / 2
] -1 .. 1 [    f ( x ) = x^2
] 1 .. +∞ [   f ( x ) = ( 1 -x ) / 2

1 Antwort

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Bei 1 brauchst du nur die einschlägigen Sätze zu zitieren.

X^2 = x*x als Produkt stetiger Funktionen überall stetig, also auch

für |x| < 1.   etc..

bei 3 habt ihr vielleicht über Folgen definiert ???

Dann musst du den Grenzwert der beiden Teile für x gegen  1 betrachten.

für x>1 ist der Gw 0 und für x<1 ist er 1. Beide verschieden, also nicht

stetig.

bei 2 ? mal überlegen ???

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zu 2) Da muss man ja so beginnen.

Seio eps>0. Gesucht ist delta>0 mit der Eigenschaft

| x - (-1) | < delta  ⇒ | f(x) - f(-1) | < eps

wegen f(-1) = 1 also

| x + 1  | < delta  ⇒ | f(x) - 1 | < eps.        #

Schauen wir mal für die beiden Zweige der Fkt, wie man dann

zu einem eps das delta wählen muss:

Für  x < -1 ( also |x| > 1 ) gilt

| f(x) - 1 | < eps

⇔ |  (1 - x)/2  - 1  | < eps

⇔ |  ( - x  - 1) / 2   | < eps

⇔ |  - x  - 1    | < 2eps

⇔ |  x+1   | < 2eps 

Also reicht in diesem Fall delta = 2eps zu wählen, damit #

erfüllt ist.

Für  x > -1 ( also |x|  < 1  in der Nähe von x=-1 ) gilt

| f(x) - 1 | < eps

⇔ |  x^2  - 1  | < eps

⇔ |  (x-1)(x+1)  | < eps

⇔ |  (x-1) | *  | (x+1)  | < eps    ##

  nun ist aber für   o >  x > -1   ###

sicherlich  |  (x-1) |  < 2 also ## erfüllt, wenn

2 *  | (x+1)  | < eps   erfüllt ist, also

⇔ | x+1  | < eps / 2

und dies gilt mit delta = eps/2.

Also ist in beiden Fällen die Sache erfüllt, wenn sowohl

delta< eps/2  als auch  delta< 2eps als auch ## erfüllt ist.

Wähle also delta = min { eps/2  ; 1 } und es passt.

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