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wie beweise ich ||x|-|y|| ≤  |x-y| ?

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Ich vermute mal, dass dir https://www.mathelounge.de/284428/ungleichung-z1-z2-≤-z1-z2-mit-dreiecksungleichung-beweisen

und dortige Links schon weiterhelfen. 

Richtig? 

2 Antworten

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|x| = | x - y  + y | ≤ | x-y| + | y|   wäre schon mal ein guter Anfang.

Avatar von 287 k 🚀
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Hallo Mia,

im Folgenden wird  |a|2 = a2  ohne Erwähnung benutzt

| |x| - |y| |  ≤ | x - y |    |2 

⇔  ( |x| - |y| )2 ≤ ( x - y)2   | 2. binomische Formel anwenden:

⇔ |x|2 - 2 |x| |y| + |y|2 ≤ x2 - 2 xy + y2

⇔   - 2 |x| |y| ≤  - 2 xy   | : (-2)  [ negativ,  ≤ → ≥ ]

⇔  |x| • |y| ≥ xy             |  es gilt  |a| • |b|  ≥ a • b : 

⇔ | xy|  ≥  xy   , was offensichtlich für alle x,y ∈ ℝ wahr ist

Gruß Wolfgang

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